По кругу расставлены 100 чисел +1 и -1.

[NL0]

Здравствуйте! Помогите, пожалуйста, разобраться с задачей:
По кругу расставлены 100 чисел +1 и -1. Для каждого числа подсчитывают произведение 50 чисел, идущих за ним по часовой стрелке. Затем исходные числа стирают, а вместо них записывают вычисленные произведения. Докажите, что после многократного повторения этой операции все числа станут единицами.


1) Ясно, что если группа из 50 чисел содержит нечетное количество -1, то произведение будет -1, если четное число -1, то +1.
2) Возникает вопрос, а последовательно ли это делается? То есть сначала берется одно число, считается произведение последующих 50 чисел, а потом стирается это число, пишется тоже +1 или -1, согласно пункту 1. И потом аналогично для второго числа итп. Но если так, то у меня не получилось найти закономерности.
3) А если делается “залпом”, то есть сначала считаются все произведения, запоминаются, потом стирают все числа и пишут новые. В таком случае получается отражение относительно центра окружности (то есть числа, стоящие на диаметре меняются местами). А если так, то выходит никогда количество -1 не убудет, потому, скорее всего, подразумевалось последовательное стирание, как я описал в пункте 2.
Подскажите, пожалуйста, залп или все-таки последовательное стирание. И с чего начать?

[Aritaborian]

NL0 в сообщении #1171804 писал(а):

А если делается “залпом”, то есть сначала считаются все произведения, запоминаются, потом стирают все числа и пишут новые.

В условии именно так и сказано.

[NL0]

Aritaborian в сообщении #1171813 писал(а):

NL0 в сообщении #1171804 писал(а):

А если делается “залпом”, то есть сначала считаются все произведения, запоминаются, потом стирают все числа и пишут новые.

В условии именно так и сказано.

Хорошо, спасибо. А подскажите, пожалуйста, в какую сторону думать?)

[Aritaborian]

(Оффтоп)

Эксперимент подтверждает, а в какую сторону думать, не знаю

[gris]

Я бы просто посмотрел на механизм действия для небольших количеств чисел. Ситуация должна быть изоморфной исходной. Значит, количество чётное. Для двух — числа просто меняются местами при каждом подходе. Единичек не получить из $--$ (для удобства пишу только знаки. Строка закольцована.)
Сразу отметим, что и для шести строка $------$ не изменится. То есть, двойная чётность критична. Ну для четырёх:
$++++ \to ++++; ---- \to ++++; +-+- \to ----; --++ \to -+-+; -+++\to ++--; ---+\to +--+$
Не удалось построить контрпример. Я, конечно, не призываю просчитывать все варианты для ста чисел, но, может быть, какие-то соображения уже появились?

[DeBill]

NL0
На основе эксперимента gris можно сформировать следующие вопросы:
1. Правда ли что после первого шага получится набор, содержащиий четное число минусов (т.е., произведение всех получившихся чисел есть 1 )
2. Правда ли, что на следующем шаге получится центральносимметричная картинка?
3. Правда ли, что третий шаг даст постоянную конфигурацию?
4. Правда ли, что за четыре шага всегда получим чё надо?

-- 26.11.2016, 23:31 --

И 5. Как изменится ответ для 102 чисел?

[NL0]

Спасибо. Насколько я понял, здесь должна быть индукция.

Пусть всего чисел не $100$, а $4n$.

Для $n=1$ утверждение выполняется, потому выполняется база.

Далее, нужно осуществить индукционный переход. Пусть утверждение выполняется для $n=k$. Нужно теперь в этот круг добавить 4 числа и проверить, будет ли верно утверждение.

Но как это сделать последнее -- пока что не понимаю...

-- 27.11.2016, 15:53 --

DeBill в сообщении #1171945 писал(а):

NL0
На основе эксперимента gris можно сформировать следующие вопросы:
1. Правда ли что после первого шага получится набор, содержащиий четное число минусов (т.е., произведение всех получившихся чисел есть 1 )
2. Правда ли, что на следующем шаге получится центральносимметричная картинка?
3. Правда ли, что третий шаг даст постоянную конфигурацию?
4. Правда ли, что за четыре шага всегда получим чё надо?

-- 26.11.2016, 23:31 --

И 5. Как изменится ответ для 102 чисел?

1 Нет 2 Нет 3 Нет 4 Не факт

[Xaositect]

NL0 в сообщении #1172140 писал(а):

1 Нет 2 Нет 3 Нет 4 Не факт

Контрпример приведете?

[DeBill]

(Оффтоп)

NL0 в сообщении #1172140 писал(а):

1 Нет 2 Нет 3 Нет 4 Не факт

1. В произведение всех полученных чисел каждое исходное входит ровно 50 раз.....

-- 27.11.2016, 17:56 --

NL0 в сообщении #1172140 писал(а):

Насколько я понял, здесь должна быть индукция.

Индукцию будет вести тяжело - ибо перемножаются разные количества чисел. Да и вааще - все меняется...

[NL0]

Xaositect в сообщении #1172142 писал(а):

NL0 в сообщении #1172140 писал(а):

1 Нет 2 Нет 3 Нет 4 Не факт

Контрпример приведете?

К какому из пунктов или ко всем?

[Xaositect]

NL0 в сообщении #1172184 писал(а):

К какому из пунктов или ко всем?

К какому-нибудь.

[Skeptic]

Выберем пару противоположных чисел и все $-1$.
Предположим, что количество $-1$ нечётное число. Тогда выбранными числами всё количество $-1$ делится на две группы, одна из которых четная, другая нечётная. После перемножения пара противоположных чисел будет состоять из $1$ и $-1$. При переборе всех противоположных пар чисел получим четное число $-1$, и количество $-1$ и $1$ будет равно.