2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Уравнение 4-й степени и площадь прямоугольного треугольника
Сообщение26.11.2016, 22:54 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
Рассматривается уравнение $\dfrac{x^4+r^4}{1+r^4}=y^2\qquad(1)$, где $r$ - любое рациональное число.
Это уравнение при любых $r$ имеет очевидные решения в рациональных числах $x^2=y^2=1, x=y=\pm{r^2}\qquad(2)$.
1. Докажите, что рациональные решения $x,y$ уравнения $(1)$, отличные от $(2)$ существуют для любых рациональных $r\ne{\pm{1}}$.
2. Найдите рациональное решение $x,y$, отличное от $(2)$ для $r=4$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение 4-й степени и площадь прямоугольного треугольника
Сообщение26.11.2016, 23:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14424
2) Это сделать довольно просто даже без подбора. $(16,16)$ подходит прекрасно.
Ибо $16^4+4^4=(16\cdot 16+1)\cdot 16^2=257\cdot 16^2$

Впрочем, для любого рационального $r$ разве не будет решением $(\pm r^2,\pm r^2)$? Или имелись в виду решения, когда $x^2\ne y^2$ (не только $1$)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение 4-й степени и площадь прямоугольного треугольника
Сообщение27.11.2016, 01:28 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
gris
Пропустил в $(2)$ и добавил $x=y=\pm{r^2}$. Мой недосмотр.
Понятно, что такие простые решения не рассматриваются.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение 4-й степени и площадь прямоугольного треугольника
Сообщение27.11.2016, 16:41 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
Исправил условие задачи в п.1.
Рациональные решения существуют при любых рациональных $r\ne{\pm{1}}$.
Площадь прямоугольного треугольника в названии остается как наводка на способ решения.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group