2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
 
 Re: Почему парадокс Бертрана парадокс?
Сообщение26.11.2016, 20:00 
Аватара пользователя


22/07/08
1374
Предместья
Евгений Машеров в сообщении #1171893 писал(а):
Ну, то есть Вы придумали свою задачу, имеющую к парадоксу Бертрана крайне слабое отношение, и решили её. Поздравляю Вас, но как из этого следует необходимость реформ в геометрии?

Да никак не следует!
Чтобы я что-то придумал, так это Вы мне даже льстите! :D
Просто я периодически мониторю состояние дел в математике по вопросу парадокса Бертрана, и время от времени замечаю статьи на эту тему, где заявляется о разрешении парадокса именно тем извращенным способом, который я эскизно, без прорисовки, набросал выше.
Цитата:
Типа, вот есть такая задача Бертрана, которая приводит к парадоксу.
А мы в этой статье вот возьмем, и определим хорду как результат пересечения фиксированной окружности случайной прямой.
И бла-бла-бла, и куча интегралов специального назначения, и вот вам функция распределения длин хорд, и отсюда вероятность половина на половину, что хорда длинее/короче стороны правильного треугольника.
И вывод:
- Ура, наши победили!

Если бы я работал математиком, я бы такие статьи выдавал примерно раз в полгода.
К счастью, я - не математик!
Впервые такой подход я нашел у Пуанкаре, в той книжке, которую я уже цитировал.
Потом откопал статью О.Ю. Шмидта, она у меня есть, могу скинуть.
Апофеозом такого подхода я бы назвал классическую статью Джейнса 1973 года,
где он, кстати, дав замечательное освещение истории вопроса за 70 лет, и отметив особо заслуги Пуанкаре в разрешении парадокса, завершает сей Background грустной ремаркой:
Цитата:
"Yet evidently this has not seemed convincing; for later authors have ignored Poincare's invariance
argument, and adhered to Bertrand's original judgment that the problem has no de nite solution. "

(Оффтоп)

P.S. Теперь то уж я точно знаю, что все закончится быстро и печально.
Первый же забредший сюда модератор либо транклюкирует меня,
либо назначит пожизненный эцих с гвоздями. (с) "Кин-дза-дза".
И это будет большая жаль!


-- Сб ноя 26, 2016 19:55:08 --

(Оффтоп)

Евгений Машеров в сообщении #1171893 писал(а):
Ну, то есть Вы придумали свою задачу, имеющую к парадоксу Бертрана крайне слабое отношение, и решили её. Поздравляю Вас, но как из этого следует необходимость сексуальных реформ в геометрии?

У меня уже давно сложилось впечатление, что все три решения Бертрана имеют к его задаче о случайной хорде крайне слабое отношение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему парадокс Бертрана парадокс?
Сообщение27.11.2016, 02:34 
Заслуженный участник


16/02/13
4105
Владивосток
Лукомор в сообщении #1171866 писал(а):
Кендалл, Моран «Геометрические вероятности»
Ну и что вам дают Кендалл с Мораном? Сначала определяем «удобную в некоторых приложениях» параметризацию прямой (методом №3, как понимаю — полярными координатами перпендикуляра из центра на прямую). Потом под «случайной прямой» понимаем, естественно, прямую с равномерно распределёнными параметрами. Ну и что при таком подходе может получиться? Кстати, и довольствуются они, по-моему, вполне себе канонической аксиоматикой Евклида (точнее говоря, книжка начинается не ab ovo и эти вопросы вообще не рассматриваются).

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему парадокс Бертрана парадокс?
Сообщение27.11.2016, 03:39 
Аватара пользователя


21/09/12

1871
Лукомор в сообщении #1171866 писал(а):
Кендалл, Моран "Геометрические вероятности"

На стр. 7-10 рассматривается именно парадокс Бертрана и вводится понятие плотности распределения, - и даже эти плотности явно выведены для каждого из трёх случаев парадокса.
Авторы - в отличие от Джейнса - нигде не говорят, что их метод "самый-самый". Они выбирают для теоремы на стр. 69 пуассоновское распределение, инвариантное относительно трансляции, вращения и отражения.
Но сакральность этого метода нигде не постулируется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему парадокс Бертрана парадокс?
Сообщение27.11.2016, 04:53 
Аватара пользователя


22/07/08
1374
Предместья
iifat в сообщении #1172037 писал(а):
Ну и что вам дают Кендалл с Мораном?

Я просто воспользовался готовой теоремой, чтобы сократить свои выкладки.
iifat в сообщении #1172037 писал(а):
Кстати, и довольствуются они, по-моему, вполне себе канонической аксиоматикой Евклида

Да, у них там никаких вольностей. В данном контексте я просто сослался на теорему, указал источник, где я ее взял.
Я бы сослался на Пуанкаре, но он об этом пишет много, расплывчато, и по другому поводу (применительно к задаче Бюффона об игле), а потом вдруг:
"Так мы возвращаемся к одной из гипотез Бертрана".
Цитата:
"Yet evidently this has not seemed convincing; for later authors have ignored Poincare's invariance
argument, and adhered to Bertrand's original judgment that the problem has no de nite solution. " (E.T. Jaynes "The Well-Posed Problem")


-- Вс ноя 27, 2016 04:02:42 --

atlakatl в сообщении #1172052 писал(а):
На стр. 7-10 рассматривается именно парадокс Бертрана и вводится понятие плотности распределения, - и даже эти плотности явно выведены для каждого из трёх случаев парадокса.

Да, именно так все обстоит. И я с этим не спорю, Да есть парадокс, и, да, он неустраним
.
atlakatl в сообщении #1172052 писал(а):
Авторы - в отличие от Джейнса - нигде не говорят, что их метод "самый-самый". Они выбирают для теоремы на стр. 69 пуассоновское распределение, инвариантное относительно трансляции, вращения и отражения.
Но сакральность этого метода нигде не постулируется.

По отношению к авторам данной книжки я никогда не утверждал чего-то особенного.
Я только сослался на теорему со стр. 69, чтобы не перегружать свое сообщение не нужными здесь выкладками.
А создалось не верное впечатление, что я их причислил к инакомыслящим. Это не так.

-- Вс ноя 27, 2016 04:19:07 --

atlakatl в сообщении #1172052 писал(а):
Авторы - в отличие от Джейнса - нигде не говорят, что их метод "самый-самый". Они выбирают для теоремы на стр. 69 пуассоновское распределение, инвариантное относительно трансляции, вращения и отражения.

Джейнс и не говорил, что его метод самый-самый.
Он просто продемонстрировал, что три решения Бертрана не инвариантны относительно трансляции, вращения и отражения.
Нашел решение инвариантное ко всем этим штукам, и показал, что такое решение единственно.
Но я понятия не имею, насколько эта не инвариантность критична применительно к геометрическим вероятностям.
Может, она за уши притянута?
Да, и еще он предложил физический эксперимент, который позволяет найти распределение статистически.
Ни один из бертрановских вариантов невозможно реализовать физически.

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему парадокс Бертрана парадокс?
Сообщение27.11.2016, 09:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9496
Москва
Лукомор в сообщении #1172058 писал(а):
Ни один из бертрановских вариантов невозможно реализовать физически.


Ну вот я навскидку назову три задачи, в которых осмыслены все три бертрановских подхода, все три из той области, к которой я имею более или менее косвенное отношение (не области математики, а прикладной деятельности, в данном случае медицины). Правда, всё же не плоскость, на коей круг, а объём, на коем шар ("примем для простоты, что голова пациента имеет форму шара").
1. Делаем больному ПЭТ (позитронно-эмиссионную томографию). Радиофармпрепарат содержит изотоп, распадающийся с образованием позитрона, который аннигилирует, образуя два фотона, разлетающихся по прямой. Принимая, что препарат в ткани мозга распределён равномерно, найти среднюю длину пути фотонов в ткани мозга (чтобы оценить вторичное повреждение)
2. На скальпе равномерно размещены электроды. Найти среднее расстояние между электродами (для оценки зависимости степени связи их сигналов от расстояния, скажем).
3. Дано направление лучей при томографии. Вдоль этого направления сделаны томограммы, дающие картину перпендикулярно направлению, и равномерно распределённые по глубине. Найти среднюю площадь томограммы.

И мораль не в том, что есть правильно определение, а в том, что для каждой конкретно определённой задачи есть адекватное определение "случайного выбора". А если вместо содержательного анализа задачи и осмысленного выбора определения использовать "интуитивную ясность", как раз и приходим к парадоксам, а затем и к софизмам.

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему парадокс Бертрана парадокс?
Сообщение27.11.2016, 10:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Лукомор в сообщении #1171757 писал(а):
Проблема заключается в том, как определить само понятие "хорда".
Если, вслед за Евклидом, определять его как отрезок, соединяющий пару точек окружности, то действительно, можно получить множество распределений случайных величин, причем, действительно, каждое из таких распределений будет равномерным в некотором смысле. Это подход самого Бертрана, прежде всего, и он тиражируется во множестве учебников по ТВ. Этот подход и есть причина сущствования парадокса.
Другое определение понятия "хорда" применительно к задаче Бертрана, восходит к Анри Пуанкаре, следует упомянуть в этой связи еще статью О.Ю.Шмидта, и конечно же Э.Т. Джейнса, которого я уже здесь упоминал ранее.
Все они отталкивались в своих решениях от определения хорды, как части прямой линии, лежащей внутри окружности.
Не вижу разницы в этих двух определениях хорды. Дело в том, что отрезок — это и есть часть прямой линии, ограниченная двумя точками.

Лукомор в сообщении #1172058 писал(а):
Да есть парадокс, и, да, он неустраним
"Парадокс Бертрана" в математическом смысле не является парадоксом. Это парадокс только в бытовом смысле. Поэтому "разрешать" его не требуется. А с пеной у рта спорящим на эту тему нужно посоветовать корректно формулировать задачу. Первоначальная формулировка задачи неполна, вследствие чего решающий задачу может истолковать условие по-разному. То, что неполнота эта не очевидна, пока с ней не столкнёшься лоб в лоб, и создаёт видимость парадокса.

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему парадокс Бертрана парадокс?
Сообщение27.11.2016, 10:12 
Аватара пользователя


22/07/08
1374
Предместья
Евгений Машеров в сообщении #1172068 писал(а):
Ну вот я навскидку назову три задачи

Это очень ценные примеры.
Я ни с чем подобным не сталкивался...
К сожалению, я сегодня несколько занят, а завтра озвучу еще один вопрос который у меня вызывает сомнения.

-- Вс ноя 27, 2016 09:17:22 --

Someone в сообщении #1172073 писал(а):
А с пеной у рта спорящим на эту тему нужно посоветовать корректно формулировать задачу.

Название статьи Джейнса, которую тут уже много кто вспоминал, "The Well-Posed Problem", можно с небольшой натяжкой перевести, как "Корректно сформулированная задача"... :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему парадокс Бертрана парадокс?
Сообщение27.11.2016, 10:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва

(Оффтоп)

Лукомор в сообщении #1172074 писал(а):
Название статьи Джейнса, которую тут уже много кто вспоминал,

Ну что тебе вам так дался этот Моцарт Джейнс!? Моцарт Джейнс - великий композитор Бертранорешатеть! :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему парадокс Бертрана парадокс?
Сообщение28.11.2016, 03:51 
Аватара пользователя


22/07/08
1374
Предместья

(Оффтоп)

Brukvalub в сообщении #1172083 писал(а):

Это - чистой воды плагиат! В оригинале было:
Цитата:
— Кто такой Студебеккер Бертран? Это ваш родственник Студебеккер Бертран? Папа ваш Студебеккер Бертран? Чего вы прилипли к человеку? (с) Остап Бендер
:D


-- Пн ноя 28, 2016 03:36:32 --

И все таки... я тут поцитирую немножко, пока все спят...

Вот "Математическая энциклопедия", (иэд. 1977г.), статью "БЕРТРАНА ПАРАДОКС" завершает словами:
Цитата:
Наиболее естественным (с геометрической точки зрения), является предположение о том, что $\rho$ и $\theta$ независимы, и распределены в интервале
$0 \leqslant \rho \leqslant 1$, $0 \leqslant \theta \leqslant 2 \pi$


Засим следует ссылка на тех же Кендалл/Моран, и здесь дело даже не в том, что я не нашел по указанной ссылке подобного пассажа, а в том, к чему это вообще сказано?

С учетом того, что в той же энциклопедической статье, абзацем выше:
Цитата:
А. Пуанкаре показал, что источник парадокса заключается в следующем: каждый раз соответствующую пару параметров предполагают равномерно распределенной в соответствующей области, и таким образом решают три различные задачи.


То-есть, теперь мне не понятно совершенно другое.

Допустим есть сто различных задач, в которых фигурируют слова "окружность", и "случайная хорда".
У каждой задачи свое условие, своя, соответствующая этому условию функция распределения длин этой случайной хорды, соответственно, свое искомое значение вероятности. Все эти задачи вполне корректно поставлены и каждая имеет единственное решение.

Теперь имеется еще сто первая задача в формулировке Бертрана.
Вопрос в том, насколько вообще правомерно подсовывать в качестве решения этой сто первой задачи решения одной, двух, трех, или более задач из этой первой сотни.

Не будет ли правильнее сказать, что эта сто первая задача не имеет решения вообще, так как она не корректно поставлена?

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему парадокс Бертрана парадокс?
Сообщение28.11.2016, 05:07 
Аватара пользователя


22/07/08
1374
Предместья
Я тут цитировал выше Пуанкаре по его книге "Теория вероятностей"(1912 г., в русском переводе 1999г.). Это, конспект лекций, которые он читал студентам.
Теперь я нашел (в книге Г.Секей "Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике") ссылку на более фундаментальный, видимо, труд Пуанкаре "Исчисление вероятностей", (также 1912 г.), который фигурирует и в списке литературы к статье все того же Джейнса.

(Оффтоп)

Я эту книгу не читал, но осуждаю :D

Но вот что пишет Секей, (и, видимо, именно по этому поводу Джейнс апеллирует в своей статье к Пуанкаре):
Цитата:
По мнению Пуанкаре, ... если у нас нет никакой дополнительной информации, то следует воспользоваться третьим методом (где ответ был $\frac{1}{2}$), так как в этом случае имеем: если два множества хорд геометрически конгруэнтны, то с равными вероятностями случайно выбранная хорда будет принадлежать любому из этих множеств.
Изучение инвариантности такого типа привело к очень интересному разделу математики, который называется интегральной геометрией...


-- Пн ноя 28, 2016 04:45:42 --

Someone в сообщении #1172073 писал(а):
Не вижу разницы в этих двух определениях хорды. Дело в том, что отрезок — это и есть часть прямой линии, ограниченная двумя точками.

Разницы нет.
В рамках геометрии.
Разница в том, что длина случайной хорды, определенной, как часть случайной прямой, пересекающей окружность,
и длина случайной хорды, определенной, как отрезок, соединяющий пару случайных точек на окружности, имеют разные функции распределения в рамках теории вероятностей.

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему парадокс Бертрана парадокс?
Сообщение28.11.2016, 11:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
Лукомор в сообщении #1172324 писал(а):
То-есть, теперь мне не понятно совершенно другое.
Нет-нет, всё намного лучше -- с этого момента Вы начинали что-то понимать. А попытки спустить цитаты великих до уровня своего понимания и передать их своими словами? тоже можно, но Вы не всегда правильно расставляете акценты, от чего путанные вещи только больше запутываются. И общий контекст (в смысле парадигмы ТВ) с тех пор немало изменился. Если Вы действительно хотели разобраться, лучше было сразу цитировать и источники, и собственное понимание.

Кстати, после ответов от Евгений Машеров Вы могли бы обратить внимание, что в цитированной Вами книге Пуанкаре (которая "Теория вероятностей") в комментариях объясняется, что автор допускал ошибки в тонких моментах, связанных с необоснованным переносом понимания линейных задач на нелинейные. Там это говорится относительно задачи Бюффона, но уже настораживает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему парадокс Бертрана парадокс?
Сообщение28.11.2016, 12:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9496
Москва
В общем, это именно поучительный парадокс (не софизм). В нём всё правильно, хотя создаётся впечатление противоречивости и ошибочности. Однако противоречие не в самом парадоксе Бертрана, а в неявно сделанном предположении, что мы понимаем, что такое "равновероятно" и можем этим пониманием пользоваться. Это предположение в действительности либо "условно верно", при условии, что мы чётко определили задачу и понимаем, что для другой задачи "равновероятно" может означать совсем иное, либо полностью ложно, если понимается в смысле "наша интуиция верно работает с вероятностями".
Да, и на всякий случай поясню, в чём "парадокс среднего человека". Если мы оцениваем средний рост и вес, то человек среднего роста не будет иметь средний вес и наоборот. Причём речь не о случайных отклонениях, а о систематических. При изменении геометрических размеров объём меняется кубично, но если вести речь о реальных людях, то у них с изменением роста меняются и пропорции фигуры (высокий худой против плотного коротышки), и плотность тканей тела также может меняться. Поэтому Кетле, придумавший самоё концепцию l'homme moyen, предложил использовать квадратичную зависимость, что до сих пор используется в качестве "индекса массы тела". Однако и для квадратики тоже имеет место нелинейность. Взяв полсотни человек с ростом от 150см до 2м, получим средний рост 175 см. Если принять, что "индекс массы тела" у них у всех равен, то средний вес, если 170см "весит" 70 кг, будет 74.70 кг, тогда как "среднему росту" должен соответствовать "вес", в смысле масса тела, 74.18 кг. То есть "равномерное распределение по весу" не означает "равномерного распределения по росту" и наоборот.
Повторяющиеся предложения "правильно решить парадокс Бертрана", ИМХО, отражают опыт авторов статей в решении конкретных задач, где было принято некое соглашение о равномерной распределённости, оно усвоилось, как "самое верное", и затем ПБ разрешался, исходя именно из него. То, что для других задач верно иное - пренебрегалось.

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему парадокс Бертрана парадокс?
Сообщение28.11.2016, 12:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Евгений Машеров в сообщении #1172068 писал(а):
1. Делаем больному ПЭТ (позитронно-эмиссионную томографию). Радиофармпрепарат содержит изотоп, распадающийся с образованием позитрона, который аннигилирует, образуя два фотона, разлетающихся по прямой. Принимая, что препарат в ткани мозга распределён равномерно, найти среднюю длину пути фотонов в ткани мозга (чтобы оценить вторичное повреждение)
По-моему, это четвёртый вариант…

Лукомор в сообщении #1172326 писал(а):
Разницы нет.
В рамках геометрии.
Разница в том, что длина случайной хорды, определенной, как часть случайной прямой, пересекающей окружность,
и длина случайной хорды, определенной, как отрезок, соединяющий пару случайных точек на окружности, имеют разные функции распределения в рамках теории вероятностей.
Нет никакой разницы, потому что оба определения дают один и тот же класс объектов, но не дают никакого распределения вероятностей. В геометрии нет никакого распределения вероятностей.

Вы явно стали жертвой многозначности слова "определение" в естественном языке.
В первом смысле "определение хорды" задаёт класс объектов, которые мы идентифицируем термином "хорда". Это определение относится к геометрии. Никакой конкретной хорды это определение не выделяет.
Во втором смысле "определение хорды" означает выбор конкретного объекта из класса, заданного определением в первом смысле.
Геометрия сама по себе не содержит никакого рецепта для выбора конкретной хорды. Формулировка этого рецепта лежит за пределами не только геометрии, но и математики вообще, хотя сам рецепт, сформулированный в геометрических терминах, разумеется, будет частью геометрии.
Для теории вероятностей, в действительности, нужен не рецепт выбора конкретной хорды, а распределение вероятностей на множестве хорд. А всякие рецепты типа "выберем случайную точку внутри круга и проведём через неё хорду, перпендикулярную радиусу" или "расчертим плоскость параллельными прямыми с шагом, равным диаметру окружности, и бросим окружность на плоскость" нужны только для того, чтобы заставить решающего задачу подумать, какой же параметр хорды имеет равномерное распределение. Причём, обычно эти рецепты рассчитаны на стереотипы, имеющиеся у составителя задачи, вследствие которых он считает задачу однозначно решаемой. Например, если речь идёт о бросании монеты, то автоматически предполагается, что есть только два исхода, и что их вероятности одинаковые (у студента, не имеющего такого стереотипа, решение задачи вызывает большие трудности).

"Парадокс Бертрана" как раз и показывает, что таких стереотипов может быть недостаточно для однозначного решения, и формулировка задачи должна содержать достаточно явные указания на распределение вероятностей.

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему парадокс Бертрана парадокс?
Сообщение28.11.2016, 14:05 
Аватара пользователя


22/07/08
1374
Предместья
grizzly в сообщении #1172346 писал(а):
Если Вы действительно хотели разобраться, лучше было сразу цитировать и источники, и собственное понимание.

У меня остался ровно один вопрос, по задаче Бертрана, который я еще здесь не задавал, и даже не касался еще его. Точнее их два, но второй должен решиться сам, по мере прояснения первого вопроса.

Я снова начну с цитаты из книжечки Г.Секей, а именно с его первого замечания к парадоксу Бертрана (стр.53):
Цитата:
При обсуждении парадокса Бертрана мы рассмотрели три метода выбора случайной хорды,
однако существует множество других столь же естественных методов.
Например, если мы случайно выберем точку в заданном круге, затем проведем через эту точку хорду в произвольном направлении
(угол, определяющий направление , равномерно распределен во всей области изменений угла и не зависит от выбора точки),
то искомая вероятность равна $\frac{1}{3}+\frac{\sqrt{3}}{2\pi}=0,609\dots$.
Неудивительно, что полученный результат больше $\frac{1}{2}$,
так как такой способ выбора чаще дает хорды большей длины.


С моей точки зрения, удивительно здесь совсем другое!
Когда мы говорим, что первые три способа абсолютно равноправны, просто все дело в том, что нелинейные преобразования не сохраняют форму распределения случайной величины и её характеристики, это понятно...
Но что мы можем сказать о четвертом способе, и как он соотносится с первыми тремя?
Если мы, по очереди, сравним этот способ с каждым из трех, то увидим некоторое различие.

Например, сравнивая выбор точки в круге, с выбором точки на окружности, как это делается в способе, дающем вероятность $\frac{1}{3}$, мы понимаем, что условная вероятность случайной точки упасть на окружность, при условии, что случайная точка выбирается из всего круга равна нулю.
То-есть случайные хорды проведенные через случайную точку, выбранную на окружности, не вносят какого либо вклада во множество хорд, проведенных через случайную точку выбранную в круге.

Аналогично, два других способа не вносят никакой лепты в формирование вероятностного пространства четвертой задачи, поскольку условная вероятность того, что случайная хорда, пройдет под прямым углом к радиусу, проведенному через выбранную точку,как этого требуют условия второго и третьего способа равна нулю, при условии, что направление хорды через эту точку случайно в четвертом способе.

Таким образом мы приходим к заключению, что вероятностное пространство четвертой задачи настолько велико, что вероятностными пространствами, выбранными для первых трех способов можно пренебречь, они не оказывают никакого влияния, на четвертый способ.

Обратное не верно.
Мы не можем сделать никакого суждения о четвертом способе решения задачи Бертрана, находясь в рамках одного из трех классических способов построения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему парадокс Бертрана парадокс?
Сообщение28.11.2016, 14:22 
Заслуженный участник


16/02/13
4105
Владивосток
Лепта, лепта... Увы, моё математическое образование явно хромает. Я как-то умудрился пропустить это важнейшее математическое понятие. (Пошёл посыпать голову лептом... тьфу, пеплом же!)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 49 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group