2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Доказательство через числа вида (1^2+3b^2) / 4 для n=3 и n=5
Сообщение14.09.2016, 12:13 


15/12/05
740
Иногда приходиться, освежать в памяти некоторые формулы, т.к. они забываются. Поэтому данный пост, поможет это сделать в будущем, т.к. нижеследующая формула здесь не приводилась и "пришла на ум" в процессе работы над темой.

Формула разности кубов (не соседних) :

$$z^3-y^3 = (z-y)\dfrac{(z-y)^2+3(2y+(z-y))^2} 4=x^3\eqno (3.0)$$

Действительно, при $z-y=1$ имеем формулу $(3)$

ananova в сообщении #1136116 писал(а):
$$(y+1)^3-y^3= \frac {1^2 + 3(2y+1)^2} 4={\color{blue}x^3}=\dfrac {1^2+3\beta^2} 4 \eqno (3)$$


С помощью формулы $(3.0)$ можно восстановить полностью доказательство методом спуска от Эйлера, не через формулу суммы кубов, которую он использовал, а через приведённую формулу разности кубов.

(Оффтоп)

Я этим не много позанимался, но сейчас надо сосредоточить внимание над "основным" доказательством, к которому надо вернуться. Плотно и полностью я им заниматься не могу, поэтому делаю паузы по 2-3 месяца, переключаясь на другие задачи.


-- Ср сен 14, 2016 12:25:18 --

Для степени $5$ формула разности пятых степеней будет следующей:

$$z^5-y^5=(z-y)\dfrac{-(z-y)^4+ 5 \left(2y^2+2y(z-y)+(z-y)^2\right)^2} {2^2}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство через числа вида (1^2+3b^2) / 4 для n=3 и n=5
Сообщение22.09.2016, 19:06 
Аватара пользователя


10/08/16
102
ananova в сообщении #1136116 писал(а):
Предположим, что есть пара взаимно простых целых положительных чисел ${\color{blue}x}$ и $y$, являющихся нетривиальным решением: $${\color{blue}x^3}+y^3=(y+1)^3 \eqno (1)$$
А что в Вашем понимании есть "нетривиальное решение"

ananova в сообщении #1136116 писал(а):
доказываем, что кольцо чисел вида $ \left \dfrac {1^2+3\beta^2} {2^2} \right $ связано с кольцом чисел $(1^2+3b^2)$, где $\beta, b \in \mathbb{N}$.
Каким образом числа указанных Вами видов образуют кольца? И как можно доказывать нечто (в данном случае связь), не определив существа самого предмета доказывания? Может, в данном случае лучше употребить глагол "показать", а не "доказать"?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство через числа вида (1^2+3b^2) / 4 для n=3 и n=5
Сообщение24.09.2016, 12:34 


15/12/05
740
cmpamer в сообщении #1153629 писал(а):
ananova в сообщении #1136116

писал(а):
Предположим, что есть пара взаимно простых целых положительных чисел ${\color{blue}x}$ и $y$, являющихся нетривиальным решением: $${\color{blue}x^3}+y^3=(y+1)^3 \eqno (1)$$ А что в Вашем понимании есть "нетривиальное решение"


Тривиальность — крайняя степень упрощения. Термин часто употребляется, в форме прилагательного или наречия, в математике в отношении объектов, простейших в своём классе. Тривиальность не имеет универсального определения.

Учитывая, что среди целых положительных чисел отсутствуют тривиальные решения, то приведённую цитату можно упростить:

Предположим, что есть пара взаимно простых целых положительных чисел ${\color{blue}x}$ и $y$, являющихся решением: $${\color{blue}x^3}+y^3=(y+1)^3 \eqno (1)$$


cmpamer в сообщении #1153629 писал(а):
ananova в сообщении #1136116

писал(а):
доказываем, что кольцо чисел вида $ \left \dfrac {1^2+3\beta^2} {2^2} \right $ связано с кольцом чисел $(1^2+3b^2)$, где $\beta, b \in \mathbb{N}$.
Каким образом числа указанных Вами видов образуют кольца? И как можно доказывать нечто (в данном случае связь), не определив существа самого предмета доказывания? Может, в данном случае лучше употребить глагол "показать", а не "доказать"?


Да, Вы правы, лучше употребить слово "показать":

Показываем, что кольцо чисел вида $ \left \dfrac {1^2+3\beta^2} {2^2} \right $ связано с кольцом чисел $(1^2+3b^2)$, где $\beta, b \in \mathbb{N}$.

Нужно тут отметить, что с использованием уравнения $(3.0)$, см. http://dxdy.ru/post1151082.html#p1151082, можно "подражать" доказательству Эйлера в книге Рибенбойма "Последняя теорема Ферма для любителей" (стр.37-39). Пусть: $z-y=2a$, а $z+y=2b$. В то время, как в книге Рибенбойма: $x+y=2a$, $x-y=2b$. При проведении параллелей между доказательствами, можно прийти к одному и тому же результату, а при должном усердии и знаниях, более строго и коротко доказать частный случай $(1)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство через числа вида (1^2+3b^2) / 4 для n=3 и n=5
Сообщение24.09.2016, 23:16 
Аватара пользователя


10/08/16
102
ananova в сообщении #1154242 писал(а):
Учитывая, что среди целых положительных чисел отсутствуют тривиальные решения, то приведённую цитату можно упростить:
Коли уж пошёл процесс упрощения, то логично было бы заменить четыре слова:
ananova в сообщении #1154242 писал(а):
взаимно простых целых положительных
одним - "натуральных". Для Вашего случая - это одно и то же.

ananova в сообщении #1154242 писал(а):
Показываем, что кольцо чисел вида $ \left \dfrac {1^2+3\beta^2} {2^2} \right $
Почему эта форма определяет кольцо?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство через числа вида (1^2+3b^2) / 4 для n=3 и n=5
Сообщение25.09.2016, 13:55 


15/12/05
740
cmpamer в сообщении #1154400 писал(а):
ananova в сообщении #1154242

писал(а):
Показываем, что кольцо чисел вида $ \left \dfrac {1^2+3\beta^2} {2^2} \right $
Почему эта форма определяет кольцо?


Рассмотрим:
ananova в сообщении #1151082 писал(а):
$$z^3-y^3 = (z-y)\dfrac{(z-y)^2+3(2y+(z-y))^2} 4=x^3\eqno (3.0)$$

$$z^3-y^3 = (z-y)\dfrac{(z-y)^2+3(z+y)^2} 4=x^3\eqno (3.01)$$
Пусть $z-y=2a$, а $z+y=2b$, тогда имеем:
$$z^3-y^3 =2a(a^2+3b^2)=x^3\eqno (3.02)$$
Далее открываем стр.57-59 книги "Последняя теорема Ферма" под авторством Эдвардса и разбираемся, с несколько другими обозначениями.
На самом деле, см. стр.59, $a$ и $b$ можно представить так: $a=p(p+3q)(p-3q)$, $b=3q(p-q)(p+q)$.

От себя замечу - для случая $z=y+1 \Longrightarrow a=\frac 1 2$.
Чтобы перевести рациональные решения к натуральным, можно воспользоваться умножением на 4: $$4(z^3-y^3) =2a\left((2a)^2+3(2b)^2\right)=4x^3\eqno (3.03)$$ Здесь $2a=1$, а НОД$(2a,2b)=1$. Взаимная простота одно из требований для существования множества целых чисел $\mathbb{S'}$. В следующей цитате мне видится возможным подменить $a$ на $2a$, $b$ на $2b$ без ущерба для результатов и выводов, при учете, что $2a=1$.

ananova в сообщении #1136116 писал(а):
Переходим на стр.40 книги Рибенбойма и берём у него следующее:

Обоснуем возможность представления $s$ в виде $(s^3=a^2+3b^2)$. Для этой цели воспользуемся приёмом, который был известен ещё Ферма, когда он изучал целые числа вида $(u^2+3v^2)$.

Пусть $\mathbb{S}$ - множество целых чисел вида $(s^3=a^2+3b^2)$, где $(a, b \in \mathbb{Z})$. Множество $\mathbb{S}$ замкнуто относительно умножения, т.к. $$(a^2+3b^2) (c^2+3d^2)=(ac \pm 3bd)^2+3(ad \mp cb)^2  \eqno (4.1)$$


Сделаем оговоренные изменения.

Обоснуем возможность представления $s'$ в виде $(s'^3=1^2+3(2b)^2)$. Для этой цели воспользуемся приёмом, который был известен ещё Ферма, когда он изучал целые числа вида $(u^2+3v^2)$.

Пусть $\mathbb{S'}$ - множество целых чисел вида $(s'^3=1^2+3(2b)^2)$, где $(2a=1, 2b \in \mathbb{Z})$. Множество $\mathbb{S'}$ замкнуто относительно умножения, т.к. $$(1^2+3(2b)^2) (c^2+3d^2)=(1\cdot c \pm 3(2b)d)^2+3(1\cdot d \mp c(2b))^2  \eqno (4.1)$$

 Профиль  
                  
 
 Где кольцо?
Сообщение25.09.2016, 17:38 
Аватара пользователя


10/08/16
102
Уважаемый ananova! К сожалению, "тема кольца" - не раскрыта.
Рискну повторить вопрос: каким образом числа, представимые в виде $ \left \dfrac {1+3\beta^2} {4} \right ;\beta\in\mathbb{N}$, образуют кольцо?
Как, например, такое число, как ноль (без этого числа довольно сложно представить какое-либо кольцо - как бублик без дырки), представляется в указанном виде (чему равно $\beta$)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство через числа вида (1^2+3b^2) / 4 для n=3 и n=5
Сообщение25.09.2016, 19:34 


15/12/05
740
Вы абсолютно правы! Признаю:
Я неправомерно использовал термин кольцо!
В будущих правках следует использовать термин Множество целых чисел вида ...., замкнутое относительно умножения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство через числа вида (1^2+3b^2) / 4 для n=3 и n=5
Сообщение25.09.2016, 21:07 
Аватара пользователя


10/08/16
102
ananova в сообщении #1154570 писал(а):
..... Множество целых чисел вида ...., замкнутое относительно умножения.
Пусть так. Но каким образом числа вида $ \left \dfrac {1+3\beta^2} {4} \right ;\beta\in\mathbb{N}$ замкнуты относительно умножения? Может (для замыкания), стоит убрать знаменатель (четвёрку) и осуществить замену первого слагаемого с единицы на квадрат (на квадрат натурального переменного, а не на квадрат той же единицы)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство через числа вида (1^2+3b^2) / 4 для n=3 и n=5
Сообщение25.09.2016, 21:19 


15/12/05
740
Для большего порядка в доказательстве, поддерживаю здравую идею, нужно будет именно так поступить. К сожалению, не готов это сделать прямо сейчас, но проделать это надо будет обязательно, для большей строгости.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство через числа вида (1^2+3b^2) / 4 для n=3 и n=5
Сообщение25.09.2016, 21:22 
Аватара пользователя


10/08/16
102
ananova в сообщении #1154610 писал(а):
Для большего порядка .....
Вот я тоже за порядок. Порядок - это сила.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство через числа вида (1^2+3b^2) / 4 для n=3 и n=5
Сообщение25.09.2016, 21:24 


15/12/05
740
Хотя, возможно, что в этом случае, проявится скрытая проблема - потеряется взаимная простота слагаемых в числителе. И что тогда делать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство через числа вида (1^2+3b^2) / 4 для n=3 и n=5
Сообщение25.09.2016, 21:39 
Аватара пользователя


10/08/16
102
ananova
А зачем Вы вообще доказываете столь специфический случай (степени соседних чисел)?
У Вас есть метод сведения общего "контрпримера" ВТФ к частному "контрпримеру", невозможность которого доказывается?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство через числа вида (1^2+3b^2) / 4 для n=3 и n=5
Сообщение26.09.2016, 10:41 


15/12/05
740
cmpamer
cmpamer в сообщении #1154619 писал(а):
ananova
А зачем Вы вообще доказываете столь специфический случай (степени соседних чисел)?
У Вас есть метод сведения общего "контрпримера" ВТФ к частному "контрпримеру", невозможность которого доказывается?


Здесь открыто более 10 тем для этого спецслучая. Есть предположение (и, возможно, уверенность у многих), что после доказательства специфического случая можно получить общее доказательство абсолютно другим методом. У каждого свои идеи. У меня такой нет.

Касательно общего случая, у меня есть в глубокой проработке общее доказательство. Я к нему возвращаюсь время от времени в надежде как-то по новому взглянуть на него. Поэтому забрасываю на неопределенное время.

Пожалуй, сейчас снова возник интерес вернуться к нему. Как я уже упомянул, в нём используется незамысловатый спуск. План доказательства такой.

(Оффтоп)

(Пока я его не сделал публичным, не буду раскрывать все ходы).
Если на текущем шаге какое-то "звено" (тройка ВТФ) во взаимосвязанной бесконечной "числовой цепи" решений (множеств троек ВТФ - "звеньев" этой цепи) имеет целочисленное решение, то соседнее звено может иметь только рациональное решение. При этом доказывается, что не может иметь целочисленного решения

(Оффтоп)

(целочисленное решение в соседнем звене нарушает взаимную простоту в текущем звене - противоречие)
и не может иметь решения в действительных числах

(Оффтоп)

(действительное решение в соседнем звене влечет не целочисленное решение в текущем звене - противоречие)
. Доказать, что не может иметь рационального решения не могу (нет противоречий). Поэтому остановился. Есть выход - можно объявить, что рациональное решение приводится к целочисленному за счет избавления от знаменателя. Тогда мы имеем снова целочисленное решение в соседнем звене, а следующее звено в цепи возможно только, если оно имеет рациональное решение и т.д. Возникает бесконечное множество возможных решений. Но тут, для меня, неоднозначный момент - нужно сослаться на доказательство Фалтингса - о том, что не может существовать бесконечное множество возможных решений для ВТФ. Достаточно ли этого или нет? - я пока не знаю. Если я в чем то заблуждаюсь, то это быстро вскроется ;).

Подвох в том, что если мы приводим к целочисленному решению тройку ВТФ в соседнем звене, то оно становится текущим звеном для собственных соседей, которые (в свою очередь) "должны быть" рациональными. В результате отсутствует бесконечное множество возможных решений ВТФ и ссылаться на доказательство Фалтингса может быть опрометчиво. Если всё-таки соседи методом "обрастания" множителями могут быть приведены к целочисленным тройкам ВТФ, тогда имеет смысл сослаться или поискать другое противоречие.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство через числа вида (1^2+3b^2) / 4 для n=3 и n=5
Сообщение21.11.2016, 11:00 


15/12/05
740
Почти забыл про эту тему. Вот, решил продолжить.

Предлагаю в этом посте новые уравнения. К сожалению, моих знаний не достаточно, чтобы найти противоречия. Однако, возможно, это удастся сделать Вам.

ananova в сообщении #1151082 писал(а):

Иногда приходиться, освежать в памяти некоторые формулы, т.к. они забываются. Поэтому данный пост, поможет это сделать в будущем, т.к. нижеследующая формула здесь не приводилась и "пришла на ум" в процессе работы над темой.

Формула разности кубов (не соседних) :

$$z^3-y^3 = (z-y)\dfrac{(z-y)^2+3(2y+(z-y))^2} 4=x^3\eqno (3.0)$$


Пусть $x^3=x_1^3x_2^3$ и не делится на 3.
Пусть $$z-y=2a; z+y=2b \eqno (2016/11.1) $$

Тогда $x_2^3=a^2+3b^2 \eqno (2016/11.2)$, т.к. НОД $((z-y),y)=1 \longrightarrow  (a,b)=1$
Допустим, что $y$ четное и делится на 3. Тогда $x, x_1, x_2$ нечетные. В соответствии, с известными леммами, можно утверждать, что $x_2$ представимо, как $u^2+3v^2 \eqno (2016/11.3)$ . Также отметим: $$\dfrac {z-y} 2 = u(u^2-9v^2) \longrightarrow (z-y)= 2u(u^2-9v^2) \eqno (2016/11.4)$$ $$\dfrac {z+y} 2 = 3v(u^2-v^2) \longrightarrow (z+y)= 6v(u^2-v^2) \eqno (2016/11.5)$$

Собственно, ниже одно и тоже уравнение, записанное в разных формах. Возможно, что Вы сможете найти противоречия.

$$((z-y)^2+{\color{red}{3}}y^2)((z-y)^2+{\color{red}{3}}z^2)=(z^2+zy+y^2)^2+{\color{red}{3}}(z-y)^4 \eqno (2016/11.A)$$
$$((z-y)^2+{\color{red}{3}}y^2)((z-y)^2+{\color{red}{3}}z^2)=(\dfrac {z^3-y^3} {z-y})^2+{\color{red}{3}}(z-y)^4 \eqno (2016/11.B)$$
$$((x_1^3)^2+{\color{red}{3}}y^2)((x_1^3)^2+{\color{red}{3}}(y+x_1^3)^2)=(x_2^3)^2+{\color{red}{3}}(x_1^3)^4 \eqno (2016/11.C)$$
$$((2a)^2+{\color{red}{3}}(b-a)^2)((2a)^2+{\color{red}{3}}(a+b)^2)=(a^2+{\color{red}{3}}b^2)^2+{\color{red}{3}}(2a)^4 \eqno (2016/11.D)$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство через числа вида (1^2+3b^2) / 4 для n=3 и n=5
Сообщение21.11.2016, 12:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
14259
Новомосковск
cmpamer в сообщении #1153629 писал(а):
А что в Вашем понимании есть "нетривиальное решение"
ananova в сообщении #1154242 писал(а):
Тривиальность — крайняя степень упрощения. Термин часто употребляется, в форме прилагательного или наречия, в математике в отношении объектов, простейших в своём классе.
"Тривиальный" в математике означает "не интересный". Например, для диофантова уравнения $x^n+y^n=z^n$ тривиальными являются решения, в которых хотя бы одна из переменных равна $0$. Обычно тривиальные объекты и находятся очень легко. Возможно, поэтому и возникает ассоциация с простотой.
Но формального определения это понятие действительно не имеет. Мало ли кому что может показаться интересным или не интересным.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 30 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group