2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему
 
 Маятник
Сообщение05.11.2012, 00:21 


05/02/11
909
Москва
В плоском теле сделаны 2 дырочки, между которыми известно расстояние $L$. Центр масс тела лежит на одной прямой с обеими дырочками.
При подвесе на первую дырку частота малых колебаний $\omega_1$, при подвесе на 2-ю дырку - $\omega_2$. Найти положение центра масс.

 Профиль  
                  
 
 Re: Маятник
Сообщение05.11.2012, 01:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/10/10
1478
Ереван(3-й участок)
$$\left\{\begin{array}{c}\omega_1=\sqrt{\frac{l+d}{g}}\\ \omega_2=\sqrt{\frac{l+L-d}{g}}\end{array}\right.,$$
где $l$-длина нити а $d$-расстояние от первой дырочки до центра тяжести.

 Профиль  
                  
 
 Re: Маятник
Сообщение05.11.2012, 11:18 


23/01/07
3021
Новосибирск
Отношение расстояний цм от дырочек:
$\dfrac{l_1}{l_2}=\dfrac{\omega^2_2}{\omega^2_1}$

откуда:
$l_1=\dfrac{L}{\omega^2_1+\omega^2_2}\cdot \omega^2_2$

 Профиль  
                  
 
 Re: Маятник
Сообщение05.11.2012, 12:26 


05/02/11
909
Москва
Bulinator, а затем и Батороев успешно решали задачу для математического маятника.
Речь, правда, идёт - о физическом: "в плоском теле..".

 Профиль  
                  
 
 Re: Маятник
Сообщение05.11.2012, 16:28 
Заслуженный участник


11/05/08
30506
dovlato в сообщении #640242 писал(а):
Bulinator, а затем и Батороев успешно решали задачу для математического маятника.
Речь, правда, идёт - о физическом: "в плоском теле..".

Видите ли, математический маятник есть предельный случай физического. И поскольку никаких других данных в условии не задано, а задача для физического маятника решено верно -- одно из двух: или ответ от дополнительных данных не зависит и, следовательно, ответ верен (что, конечно, неправда), или данных не хватает и задача, соответственно, поставлена некорректно (что совсем уж нехорошо).

 Профиль  
                  
 
 Re: Маятник
Сообщение05.11.2012, 17:07 


03/01/09
1063
москва
Частота малых колебаний физического маятника равна $\omega =\sqrt {\frac {mgl}{J}}\qquad (1)$,где $l$-расстояние от точки подвеса до центра тяжести, $J$-момент инерции тела относительно оси, проходящей через точку подвеса.
Обозначим расстояние от первой дырочки до центра тяжести через $x$, тогда расстояние от второй дырочки до центра тяжести равно $L-x$.
Из (1) получим $J_1=\dfrac {mgx}{\omega _1^2},J_2=\dfrac {mg(L-x)}{\omega _2^2}.\qquad (2)$
По теореме Штейнера $J_1=J_0+mx^2,J_2=J_0+m(L-x)^2\qquad(3)$, где $J_0$-момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр тяжести.
Из (2) и (3) находим:$$x=\dfrac {L-\frac g{\omega _2^2}}{2-\frac {g(\omega_1^2+\omega _2^2)}{L\omega _1^2\omega _2^2}}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Маятник
Сообщение05.11.2012, 17:32 


05/02/11
909
Москва
По существу, ответ mihiv (у меня он такой же) освобождает от необходимости отвечать ewert)).
В моих задачах содержится ровно столько информации, сколько необходимо.
В данной задаче я столкнулся с неожиданным. Нетрудно доказать, что в таких маятниках существует
максимальная частота малых колебаний. И приведенной информации достаточно, чтобы её рассчитать. Но.. почему-то получаются неправдоподно сложные дроби с квадратами и четвёртыми степенями. Чувство, что споткнулся на почти ровном месте.
Даже неохота приводить написанное.

 Профиль  
                  
 
 Re: Маятник
Сообщение05.11.2012, 18:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
60269
А как выглядит функция частоты от точки сверления дырочки? Бывают ли в ней локальные экстремумы (кроме очевидного локального минимума)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Маятник
Сообщение05.11.2012, 19:11 


03/01/09
1063
москва
dovlato в сообщении #640361 писал(а):
Нетрудно доказать, что в таких маятниках существует
максимальная частота малых колебаний.

Если опять обозначить через $x$ расстояние от точки подвеса до центра тяжести, то$$\omega ^2=\dfrac {mgx}{J_0+mx^2}.$$Максимальное значение этого выражения достигается при $x=\sqrt {\frac {J_0}{m}}$ и равно$$\omega _{\max }^2=\frac g2\sqrt \frac {m}{J_0},$$где $J_0$-момент инерции относительно оси, проходящей через центр тяжести.

 Профиль  
                  
 
 Re: Маятник
Сообщение05.11.2012, 19:12 


05/02/11
909
Москва
Munin в сообщении #640374 писал(а):
А как выглядит функция частоты от точки сверления дырочки? Бывают ли в ней локальные экстремумы (кроме очевидного локального минимума)?

Формула: $$\omega_1^2=\omega^2(l_1)=g\frac{l_1}{l_0^2+l_1^2}$$
Здесь $l_0$ - индивидуальная характеристика тела; кажется, именуется радиус инерции или похоже. Короче $$J_0=ml_0^2$$
Отсюда ясно главное: равные частоты будут давать точки подвеса, находящиеся на окружностях с центром центре масс.
Причём, как нетрудно убедиться, $\omega(x)=\omega(1/x)$.
А максимум достигается при $l_1=l_0.$

-- Пн ноя 05, 2012 20:21:20 --

-- Пн ноя 05, 2012 20:22:53 --

Mihiv, конечно, я с этим согласен. Но $J_0$ нам не дан. А если нам даны только омега первая и вторая и длина эль - вот тут я и попробовал выразить всё только через них. И поразился, насколько же там всё загромоздилось..

 Профиль  
                  
 
 Re: Маятник
Сообщение05.11.2012, 19:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
60269
dovlato в сообщении #640393 писал(а):
И поразился, насколько же там всё загромоздилось..

Но если $J_0$ просто выражается, и через него всё просто выражается, то можно просто не подставлять одно выражение в другое, а оставить композицией двух функций.

 Профиль  
                  
 
 Re: Маятник
Сообщение05.11.2012, 20:29 


05/02/11
909
Москва
Чёрт знает..вроде "по теории" действительно так. Может, какое-нибудь упрощение просматриваю.
В общем, если кто сподобится - было бы интересно. В принципе логично было бы распространить на дырки,
произвольно (не обязательно на одной прямой) распределённые по плоскости.

 Профиль  
                  
 
 Re: Маятник
Сообщение18.11.2016, 17:51 


18/11/16
1
mihiv в сообщении #640391 писал(а):
Максимальное значение этого выражения достигается при $x=\sqrt {\frac {J_0}{m}}$ и равно


Почему максимальное значение достигается при этом значении? Откуда это взялось?
Я знаю, что это так, но не совсем понимаю откуда такое условие..

 Профиль  
                  
 
 Re: Маятник
Сообщение19.11.2016, 11:55 


03/01/09
1063
москва
Demondey в сообщении #1169902 писал(а):
Почему максимальное значение достигается при этом значении?


$$\omega ^2=\dfrac {mgx}{J_0+mx^2}=g\sqrt {\dfrac m{J_0}}\dfrac t{1+t^2}$$где $t=x\sqrt {\dfrac m{J_0}}, f(t)=\dfrac t{1+t^2}=\dfrac 1{\frac 1t+t}.$ Максимум $f(t)$ равный $\frac 12$ достигается при $t=1$, так как $\dfrac 1t+t\geq 2$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: Парджеттер, Pphantom, whiterussian, Aer, photon, profrotter, Jnrty, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group