2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему
 
 Маятник
Сообщение05.11.2012, 00:21 


05/02/11
971
Москва
В плоском теле сделаны 2 дырочки, между которыми известно расстояние $L$. Центр масс тела лежит на одной прямой с обеими дырочками.
При подвесе на первую дырку частота малых колебаний $\omega_1$, при подвесе на 2-ю дырку - $\omega_2$. Найти положение центра масс.

 Профиль  
                  
 
 Re: Маятник
Сообщение05.11.2012, 01:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/10/10
1478
Ереван(3-й участок)
$$\left\{\begin{array}{c}\omega_1=\sqrt{\frac{l+d}{g}}\\ \omega_2=\sqrt{\frac{l+L-d}{g}}\end{array}\right.,$$
где $l$-длина нити а $d$-расстояние от первой дырочки до центра тяжести.

 Профиль  
                  
 
 Re: Маятник
Сообщение05.11.2012, 11:18 


23/01/07
3150
Новосибирск
Отношение расстояний цм от дырочек:
$\dfrac{l_1}{l_2}=\dfrac{\omega^2_2}{\omega^2_1}$

откуда:
$l_1=\dfrac{L}{\omega^2_1+\omega^2_2}\cdot \omega^2_2$

 Профиль  
                  
 
 Re: Маятник
Сообщение05.11.2012, 12:26 


05/02/11
971
Москва
Bulinator, а затем и Батороев успешно решали задачу для математического маятника.
Речь, правда, идёт - о физическом: "в плоском теле..".

 Профиль  
                  
 
 Re: Маятник
Сообщение05.11.2012, 16:28 
Заслуженный участник


11/05/08
31047
dovlato в сообщении #640242 писал(а):
Bulinator, а затем и Батороев успешно решали задачу для математического маятника.
Речь, правда, идёт - о физическом: "в плоском теле..".

Видите ли, математический маятник есть предельный случай физического. И поскольку никаких других данных в условии не задано, а задача для физического маятника решено верно -- одно из двух: или ответ от дополнительных данных не зависит и, следовательно, ответ верен (что, конечно, неправда), или данных не хватает и задача, соответственно, поставлена некорректно (что совсем уж нехорошо).

 Профиль  
                  
 
 Re: Маятник
Сообщение05.11.2012, 17:07 
Заслуженный участник


03/01/09
1134
москва
Частота малых колебаний физического маятника равна $\omega =\sqrt {\frac {mgl}{J}}\qquad (1)$,где $l$-расстояние от точки подвеса до центра тяжести, $J$-момент инерции тела относительно оси, проходящей через точку подвеса.
Обозначим расстояние от первой дырочки до центра тяжести через $x$, тогда расстояние от второй дырочки до центра тяжести равно $L-x$.
Из (1) получим $J_1=\dfrac {mgx}{\omega _1^2},J_2=\dfrac {mg(L-x)}{\omega _2^2}.\qquad (2)$
По теореме Штейнера $J_1=J_0+mx^2,J_2=J_0+m(L-x)^2\qquad(3)$, где $J_0$-момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр тяжести.
Из (2) и (3) находим:$$x=\dfrac {L-\frac g{\omega _2^2}}{2-\frac {g(\omega_1^2+\omega _2^2)}{L\omega _1^2\omega _2^2}}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Маятник
Сообщение05.11.2012, 17:32 


05/02/11
971
Москва
По существу, ответ mihiv (у меня он такой же) освобождает от необходимости отвечать ewert)).
В моих задачах содержится ровно столько информации, сколько необходимо.
В данной задаче я столкнулся с неожиданным. Нетрудно доказать, что в таких маятниках существует
максимальная частота малых колебаний. И приведенной информации достаточно, чтобы её рассчитать. Но.. почему-то получаются неправдоподно сложные дроби с квадратами и четвёртыми степенями. Чувство, что споткнулся на почти ровном месте.
Даже неохота приводить написанное.

 Профиль  
                  
 
 Re: Маятник
Сообщение05.11.2012, 18:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
63024
А как выглядит функция частоты от точки сверления дырочки? Бывают ли в ней локальные экстремумы (кроме очевидного локального минимума)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Маятник
Сообщение05.11.2012, 19:11 
Заслуженный участник


03/01/09
1134
москва
dovlato в сообщении #640361 писал(а):
Нетрудно доказать, что в таких маятниках существует
максимальная частота малых колебаний.

Если опять обозначить через $x$ расстояние от точки подвеса до центра тяжести, то$$\omega ^2=\dfrac {mgx}{J_0+mx^2}.$$Максимальное значение этого выражения достигается при $x=\sqrt {\frac {J_0}{m}}$ и равно$$\omega _{\max }^2=\frac g2\sqrt \frac {m}{J_0},$$где $J_0$-момент инерции относительно оси, проходящей через центр тяжести.

 Профиль  
                  
 
 Re: Маятник
Сообщение05.11.2012, 19:12 


05/02/11
971
Москва
Munin в сообщении #640374 писал(а):
А как выглядит функция частоты от точки сверления дырочки? Бывают ли в ней локальные экстремумы (кроме очевидного локального минимума)?

Формула: $$\omega_1^2=\omega^2(l_1)=g\frac{l_1}{l_0^2+l_1^2}$$
Здесь $l_0$ - индивидуальная характеристика тела; кажется, именуется радиус инерции или похоже. Короче $$J_0=ml_0^2$$
Отсюда ясно главное: равные частоты будут давать точки подвеса, находящиеся на окружностях с центром центре масс.
Причём, как нетрудно убедиться, $\omega(x)=\omega(1/x)$.
А максимум достигается при $l_1=l_0.$

-- Пн ноя 05, 2012 20:21:20 --

-- Пн ноя 05, 2012 20:22:53 --

Mihiv, конечно, я с этим согласен. Но $J_0$ нам не дан. А если нам даны только омега первая и вторая и длина эль - вот тут я и попробовал выразить всё только через них. И поразился, насколько же там всё загромоздилось..

 Профиль  
                  
 
 Re: Маятник
Сообщение05.11.2012, 19:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
63024
dovlato в сообщении #640393 писал(а):
И поразился, насколько же там всё загромоздилось..

Но если $J_0$ просто выражается, и через него всё просто выражается, то можно просто не подставлять одно выражение в другое, а оставить композицией двух функций.

 Профиль  
                  
 
 Re: Маятник
Сообщение05.11.2012, 20:29 


05/02/11
971
Москва
Чёрт знает..вроде "по теории" действительно так. Может, какое-нибудь упрощение просматриваю.
В общем, если кто сподобится - было бы интересно. В принципе логично было бы распространить на дырки,
произвольно (не обязательно на одной прямой) распределённые по плоскости.

 Профиль  
                  
 
 Re: Маятник
Сообщение18.11.2016, 17:51 


18/11/16
1
mihiv в сообщении #640391 писал(а):
Максимальное значение этого выражения достигается при $x=\sqrt {\frac {J_0}{m}}$ и равно


Почему максимальное значение достигается при этом значении? Откуда это взялось?
Я знаю, что это так, но не совсем понимаю откуда такое условие..

 Профиль  
                  
 
 Re: Маятник
Сообщение19.11.2016, 11:55 
Заслуженный участник


03/01/09
1134
москва
Demondey в сообщении #1169902 писал(а):
Почему максимальное значение достигается при этом значении?


$$\omega ^2=\dfrac {mgx}{J_0+mx^2}=g\sqrt {\dfrac m{J_0}}\dfrac t{1+t^2}$$где $t=x\sqrt {\dfrac m{J_0}}, f(t)=\dfrac t{1+t^2}=\dfrac 1{\frac 1t+t}.$ Максимум $f(t)$ равный $\frac 12$ достигается при $t=1$, так как $\dfrac 1t+t\geq 2$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: profrotter, Jnrty, Парджеттер, Pphantom, whiterussian, Aer, photon, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: lel0lel


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group