Дробно-рациональное уравнение

[NL0]

Есть ли способ решить это уравнение "не в лоб" (какой-то очень быстрый)? Подскажите?

$\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{11}{x-11}=\dfrac{9}{x-9}+\dfrac{10}{x-10}$

Ясно, что можно привести к общему знаменателю, свести к квадратному уравнению (но это стандартно)

[Simple Fairy]

NL0 в сообщении #1169011 писал(а):

Есть ли способ решить это уравнение "не в лоб" (какой-то очень быстрый)? Подскажите?

$\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{11}{x-11}=\dfrac{9}{x-9}+\dfrac{10}{x-10}$

Ясно, что можно привести к общему знаменателю, свести к квадратному уравнению (но это стандартно)

А решить квадратное уравнение занимает много времени?

[пианист]

Быстро находим $x = 0$ :)

[NL0]

Учительница сказала, что нужен нестандартный способ)

[wrest]

NL0 в сообщении #1169021 писал(а):

Учительница сказала, что нужен нестандартный способ)

Ну, нестандартный способ тут, наверное, такой.

Один корень явно левее единицы, другой корень явно правее 11.
Это следует из анализа $y=\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{11}{x-11}-\dfrac{9}{x-9}-\dfrac{10}{x-10}$
При приведении к одному знаменателю в числителе получится многочлен третьей степени, а в знаменателе -- четвертой.
Причем, коэфициент при кубе в числителе будет равен сумме $1+11-9-10=-7$, то есть -- отрицательный.
Таким образом, в минус бесконечности $y$ будет положительный, а в плюс бесконечности соответственно - отрицательный.
При $x=1$ предел слева -- минус бесконечность, значит есть по крайней мере один корень между $x=1$ и минус бесконечностью.
При $x=11$ предел справа -- плюс бесконечность, значит есть по крайней мере один корень между $x=11$ и плюс бесконечностью.
Таким образом, поскольку задачка школьная и ответы предполагаются целые, надо проверить целые иксы $0;-1;-2;-4;-5;...$ с одной стороны и $12,13,14,15...$ с другой стороны, до нахождения корней. Слева от единицы подходит первый же икс, равный нулю. Справа от $11$ проверять труднее, но корень находится при $x=13$
Теперь мы знаем, что числитель можно записать так: $-7x(x-13)(x-x_3)$.
Остается "нестандартно" найти третий корень :)

[gris]

Поменяйте местами внутренние дроби и совершите вычитание в каждой части отдельно.

[StaticZero]

NL0 в сообщении #1169011 писал(а):

$\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{11}{x-11}=\dfrac{9}{x-9}+\dfrac{10}{x-10}$

$$\dfrac{1 - x}{x - 1} + \dfrac{x}{x - 1} + \dfrac{11 - x}{x - 11} + \dfrac{x}{x - 11} = \dfrac{9 - x}{x - 9} + \dfrac{x}{x - 9} + \dfrac{10 - x}{x - 10} + \dfrac{x}{x - 10}$$

$$ x \left( \dfrac{1}{x - 11} + \dfrac{1}{x - 1} - \dfrac{1}{x - 9} - \dfrac{1}{x - 10}\right) = 0. $$

Вот вам бесплатно нашёлся нулевой корень.

$$ \dfrac{1}{x - 11} - \dfrac{1}{x - 10} = \dfrac{1}{(x - 11)(x - 10)} \qquad =\qquad -\dfrac{1}{x - 1}+ \dfrac{1}{x - 9} = \dfrac{8}{(x - 1)(x - 9)} $$

$$ \dfrac{(x - 1)(x - 9)}{(x - 10)(x - 11)} = 8. $$

Методом интервалов обнаруживаем, что оставшиеся корни находятся на множестве $(-\infty; 1) \cup (9, 10) \cup (11, \infty)$. Только в чём смысл дальше изгаляться, не очень ясно. Можно, имея "глаз-алмаз", случайно заметить, что если $x = 13$, то слева образуется число $\dfrac{12 \cdot 4}{3 \cdot 2}$,
которое как раз то, что надо. Но и всё, оставшийся корень дробный.

[grizzly]

StaticZero в сообщении #1169121 писал(а):

Можно, имея "глаз-алмаз", случайно заметить

Ещё можно под конец Ваших рассуждений заменить $x-11$ на $t$ и дорешать пример устно. То есть, "хитрость" здесь может быть в том, что эту задачу не каждый сумеет решить устно, хотя многие смогли бы, догадавшись, как последовательно её упрощать.