2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Двойной мост Томсона
Сообщение13.11.2016, 18:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
При балансировке измерительного моста Томсона (см. схему) можно ввести условие баланса $I_g = 0$ априори и решить систему уравнений законов Кирхгофа, чтобы посмотреть, как должны соотноситься сопротивления элементов.

(Схема)

Изображение


Написал такую систему:
$$
					\begin{cases}
						I_1 R_1 - I_2 R_2 	- r I_r = 0, \\
						I_3 R_3 - I_4 R_4 	- x I_x = 0, \\
						I_2 R_2 + I_4 R_4 	- I R = 0, \\
						I_1 = I_3, \\
						I_2 = I_4, \\
						I_r = I + I_2, \\
						I_x = I + I_4,
					\end{cases}
				$$
упростил до
$$
					\begin{cases}
						I_1 R_1 - I_2 R_2 	- r I_r = 0, \\
						I_1 R_3 - I_2 R_4 	- x I_r = 0, \\
						I_2 R_c - R I_r = 0, \\
					\end{cases}
				$$
где $R_c = R + R_2 + R_4$. Запишу в виде матрицы:
$$
					\begin{pmatrix}
						R_1 &\ -R_2 &\ -r \\
						R_3 &\ -R_4 &\ -x \\
						0 &\ R_c &\ -R
					\end{pmatrix}
					\begin{pmatrix}
					I_1 \\ I_2 \\ I_r
					\end{pmatrix}
					=
					\begin{pmatrix}
					0 \\ 0 \\ 0
					\end{pmatrix}.
				$$
Выписанное везде в методичках условие баланса
$$
x = \dfrac{r R_3}{R_1} + \dfrac{R R_2}{R + R_2 + R_4} \left( \dfrac{R_3}{R_1} - \dfrac{R_4}{R_2}\right)$$
обращает определитель матрицы системы в нуль, что легко проверить.

А как тогда быть с физическим смыслом, ведь ток в цепи тогда вообще не идёт, так как $I_1 = I_2 = I_r = 0$ и других решений нет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Двойной мост Томсона
Сообщение13.11.2016, 19:13 
Заслуженный участник


25/02/08
2961
StaticZero
Ничего себе. Наоборот, в однородных СЛАУ нетривиальное решение есть только тогда, когда определитель матрицы коэффициентов есть нуль.
P.S.В данном случае, заданное $\[x\]$ не обращает определитель в нуль. Так что либо ошибка в методичке, либо вы неверно записали систему уравнений.

 Профиль  
                  
 
 Re: Двойной мост Томсона
Сообщение13.11.2016, 19:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
Тьфу. Тривиальное решение единственно только тогда, когда ядро матрицы системы имеет размерность нуль. А размерность нуль значит, что $\det \ne 0$.

А отрицание этого утверждения у меня сделать не получилось :facepalm:
$\det = 0$ означает, что $\dim \ker \ne 0$, и есть нетривиальные решения. Вот так, видимо, правильно. И вопрос сам собой отпадает.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group