Как найти квадрат L2 нормы решения дифф уравнения

[yurec]

Требуется найти квадрат L2 нормы $(\|x\|^2_{L^2})$ решения уравнения $a\dot{x}+x=f(t)$ при условии, что:
1. $f(t)$ - периодическая функция
2. $x(t)$ - решение в установившемся режиме
3. Квадрат нормы нужно вычислить избегая решения уравнения в явном виде

Задачка вроде бы простая, но ставит в тупик. Подскажите, кто что может посоветовать?

Тривиальным подходом является использование рядов Фурье.
Решение будет таким: $\|x\|^2_{L^2}=\sum_n|x_n|^2=\sum_n\frac{1}{1+a^2\omega_n^2}|f_n|^2$
Однако это требует во-первых использование преобразования Фурье, а во-вторых вычисление бесконечной суммы ряда.

Хочется понять, есть ли более элегантное решение.

Например, с однородным дифференциальным уравнением все очень элегантно. Умножая уравнение на искомую функцию и интегрируя по $t$ получим:
$a\dot{x}+x=0$
$a\dot{x}x+x^2=0$
$a\int^{x_\infty}_{x_0}xdx+\|x\|^2_{L^2}=0$
$\frac{a}{2}(x^2_\infty-x^2_0)+\|x\|^2_{L^2}=0$
В итоге получаем $\|x\|^2_{L^2}=\frac{a}{2}x^2_0$

С неоднородным уравнением такой подход дает только одно уравнение, а именно, возводя в квадрат обе части уравнения и интегрируя по $t$, получим:

$a^2\|\dot{x}\|^2_{L^2}+2a\left<x\dot{x}\right>+$\|x\|^2_{L^2}=$\|f\|^2_{L^2}$

Причем скалярное произведение $\left<x\dot{x}\right> = \int^{t+T}_{t}x\dot{x}dt =\int^{t+T}_{t}xdx=\frac{1}{2}\bigl(x^2(t+T)-x^2(t)\bigr)=0$, т.к. $x$ - периодическая функция. В итоге имеем прямоугольный треугольник, воплощенный в теореме Пифагора:

$a^2\|\dot{x}\|^2_{L^2}+$\|x\|^2_{L^2}=$\|f\|^2_{L^2}$
что также напоминает нам о том, что вектора $x$ и $\dot{x}$ в пространстве $L_2$ ортогональны

Но этого не достаточно для решения задачи. Она не решена.

[Karan]

Попробуйте Фурье. Напишите подробно о затруднениях, если не получится.

[Karan]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Karan]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»