Сила Лоренца при отсутствии относительного движения

[paladin17]

Здравствуйте.
Наткнулся на любопытный парадокс и надеюсь на помощь в его разрешении.
Пусть две одинаковые заряженные частицы движутся в лабораторной системе параллельно со скоростью $v$. Они, очевидно, будут действовать друг на друга с одинаковой по модулю силой. Для одной из частиц эта сила будет выглядеть как

$\vec{F}=k \frac{q^2}{r^3} \vec{r}+q \vec{v} \times \vec{B}$,

где $q$ - заряд частицы, $\vec{r}$ - радиус-вектор этой частицы относительно второй, а $\vec{B}$ - магнитное поле, создаваемое второй частицей. $|\vec{B}| = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{qv}{r^2}$, хотя для моего вопроса это и не существенно.

А суть его сводится вот к чему: в лабораторной системе всё выглядит вполне пристойно, но что же получается в системе, связанной с заряженной частицей? Там движение второй частицы отсутствует, и магнитного поля тоже по идее не должно быть, то есть должна оставаться только первая (кулоновская) составляющая. Как же так?

Интуитивно я предполагаю, что дело тут в нетривиальности самого преобразования из одной системы в другую (по-хорошему это должно быть преобразование Лоренца), но всё-таки я не вижу, как именно оно приведёт к появлению магнитного поля. Да и, наверное, должна быть возможность это описать и на классическом языке?

[DimaM]

paladin17 в сообщении #1166532 писал(а):

А суть его сводится вот к чему: в лабораторной системе всё выглядит вполне пристойно, но что же получается в системе, связанной с заряженной частицей? Там движение второй частицы отсутствует, и магнитного поля тоже по идее не должно быть, то есть должна оставаться только первая (кулоновская) составляющая. Как же так?

Так и будет. Только электрическая составляющая будет другой, потому что поля преобразуются при переходе в другую СО. Так что это и не парадокс вовсе.

paladin17 в сообщении #1166532 писал(а):

Да и, наверное, должна быть возможность это описать и на классическом языке?

Магнитное поле - штука существенно релятивистская.

[Munin]

paladin17 в сообщении #1166532 писал(а):

Да и, наверное, должна быть возможность это описать и на классическом языке?

Нет, как раз.

Собственно, из этого можно вывести всю теорию относительности (СТО). Просто из требования математической согласованности. Просто исторически она была построена другим путём.

-- 06.11.2016 14:10:11 --

Преобразования Лоренца для поля (не спрашивайте, как они выводятся):

$$E'_x=E_x,\qquad E'_y=\dfrac{E_y-(v/c)B_z}{\sqrt{1-v^2/c^2}},\qquad E'_z=\dfrac{E_z+(v/c)B_y}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$$

$$B'_x=B_x,\qquad B'_y=\dfrac{B_y+(v/c)E_z}{\sqrt{1-v^2/c^2}},\qquad B'_z=\dfrac{B_z-(v/c)E_y}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$$

[Munin]

Преобразования Лоренца для силы (заметьте, сила не одна и та же в разных системах отсчёта!):

$$F'_x=\dfrac{F_x-(\mathbf{F\cdot u})v/c^2}{1-u_x v/c^2}=F_x-\dfrac{(F_y u_y+F_z u_z)v/c^2}{1-u_x v/c^2},$$

$$F'_y=\dfrac{F_y\cdot\sqrt{1-v^2/c^2}}{1-u_x v/c^2},\qquad F'_z=\dfrac{F_z\cdot\sqrt{1-v^2/c^2}}{1-u_x v/c^2},$$

где $\mathbf{u}$ - скорость частицы, на которую действует сила (в исходной системе отсчёта).