2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Нестрого, но симпатично
Сообщение22.10.2016, 00:01 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
Пусть $a$ и $b$ положительные числа такие, что $a+b=1$. Для любого действительного $x$ докажите, что:
$$ae^{\frac{x}{a}} + be^{-\frac{x}{b}}\leq e^{\frac{x^2}{8a^2b^2}}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Нестрого, но симпатично
Сообщение30.10.2016, 23:18 


30/03/08
196
St.Peterburg
arqady в сообщении #1161792 писал(а):
Пусть $a$ и $b$ положительные числа такие, что $a+b=1$. Для любого действительного $x$ докажите, что:
$$ae^{\frac{x}{a}} + be^{-\frac{x}{b}}\leq e^{\frac{x^2}{8a^2b^2}}$$


Можно считать что $x \ge 0$  , $\dfrac{x}{ab}=t \ge 0$

$f_1(t) = (1-a)+a e^t , \qquad f_2(t)=e^{\frac{t^2}{8}+at}\qquad $

$f_1(0)=f_2(0)=1.$  

Докажем , что : $f_1'(t) \le f_2'(t) \Leftrightarrow f_3(t)=a  \le  e^{\frac{t^2}{8}-(1-a)t} \cdot (\frac{t}{4}+a)=f_4(t)$

$f_3(0)=f_4(0)= a ,  \qquad  f_3'(t)=0   \le f_4'(t)= \frac{1}{16} \cdot e^{\frac{t^2}{8}-(1-a)t} \cdot(t-2(1-2a))^2$

Получили : $(f_3(0)=f_4(0) , \qquad f_3'(t) \le f_4'(t))\qquad \Rightarrow f_3(t) \le f_4(t) \Rightarrow f_1'(t) \le f_2'(t)$

$\qquad (f_1(0)=f_2(0) , \qquad f_1'(t) \le f_2'(t) )  \qquad  \Rightarrow f_1(t) \le f_2(t)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Нестрого, но симпатично
Сообщение01.11.2016, 23:26 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
Фёдор Петров нашёл очень красивое решение.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group