2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Цепь переменного тока
Сообщение27.10.2016, 01:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
Дана цепь переменного тока, изображённая на рисунке (амплитуда синусоидального источника напряжения 1 В).
Нужно найти сдвиг фаз и отношение амплитуд сигналов $x(t)$ и $y(t)$ (имеются ввиду напряжения).

(Рисунок)

Изображение


(Выкладки)

Ясно, что $y(t)$ есть функция источника питания. Пусть тогда $y(t) = U_0 \sin \omega t$. Обозначим ток, протекающий через резистор $R_0$, как $i_0$. Он связан с сигналом $x(t)$ таким образом:
$$
x(t) = i_0 R_0.
$$
Следовательно, нам нужно найти только функцию $i_0(t)$. Рассмотрим $RC$-контур; обозначим напряжение на нём как $u$. Из суммы протекающих через его ветви токов получаем
$$
i_0 R = u + RC \ \dfrac{\mathrm du}{\mathrm dt}.
$$

Учтём теперь, что $u = y(t) - x(t)$. Проведя несложные преобразования, получим
$$
x(t) \ \left(1 + \dfrac{R}{R_0}\right) = y(t) + RC (\dot{y} - \dot{x}),
$$
$$
\dot x RC + \left(1 + \dfrac{R}{R_0}\right) x = y(t) + \dot y RC.
$$

Подставим теперь сигнал $y(t)$, который нам известен, в уравнение. Получаем
$$
RC \ \dfrac{\mathrm dx}{\mathrm dt} + \left(1 + \dfrac{R}{R_0}\right) x = U_0 (\omega R C \cos \omega t + \sin \omega t).
$$
Ищем решение дифференциального уравнения в виде $U \sin (\omega t + \varphi)$. Подставим, продифференцируем, фазу справа выделим, имеем
$$
U\left[\omega R C \cos (\omega t + \varphi) + \left(1 + \dfrac{R}{R_0}\right) \sin (\omega t + \varphi)\right] = U_0 (\omega R C \cos \omega t + \sin \omega t),
$$
$$
U\sqrt{(\omega R C)^2 + \left(1 + \dfrac{R}{R_0}\right)^2} \sin (\omega t + \varphi + \theta) = U_0 \sqrt{(\omega R C)^2 + 1} \sin(\omega t + \psi),
$$
$$
\tg \psi = \omega R C, \quad \tg \theta = \dfrac{\omega R C}{1 + \dfrac{R}{R_0}} = \dfrac{\tg \psi}{1 + \dfrac{R}{R_0}}.
$$
Это равенство должно быть тождественное. Тогда нужно потребовать, чтобы $\theta + \varphi = \psi$ и
$$
\dfrac{U}{U_0} = \sqrt{\dfrac{1 + (\omega R C)^2}{(\omega R C)^2 + \left(1 + \dfrac{R}{R_0}\right)^2}}.
$$
Обозначим здесь $ R C = \tau$ (постоянная времени $RC$-контура) и $1 + \dfrac{R}{R_0} = \dfrac{1}{\mu}$ ($\mu$ — некий коэффициент, характеризующий долю активного сопротивления контура во всём активном сопротивлении цепи). Тогда получим такое выражение:
$$
\dfrac{U}{U_0} = \sqrt{\dfrac{\mu^2 + \mu^2 \omega^2 \tau^2}{1 + \mu^2 \omega^2 \tau^2}}.
$$

Теперь разберёмся с фазами. "Протангенсуем" обе части равенства $\varphi = \psi - \theta$ парой строчек выше (ага, вспомним, что углы $\psi$ и $\theta$ появились через преобразования синусов и выражаются через тангенсы):
$$
\tg \varphi = \dfrac{\tg \psi - \tg \theta}{1 + \tg \psi \tg \theta} = \dfrac{\omega \tau (1 - \mu)}{1 + \mu^2 \omega^2 \tau^2}.$$

В пределе $\omega \to 0$ получается
$$
\dfrac{U}{R_0} = \dfrac{U_0}{R + R_0}, \qquad \tg \varphi = 0,$$
как и должно быть.

Upd:
Посмотрим теперь в случае $\mu = 1$ (в таком случае $R = 0$ и получается последовательное $RC$-соединение). В таком случае $U = U_0$ (нормально) и $\tg \varphi = 0$ (неправильно). Значит, я где-то ошибся?


Вопросы такие:
1) правильно я посчитал?
2) даже для такой простой цепи получилась тонна выкладок, ещё и дифференциальное уравнение пришлось решать. Можно ли проще? Я слышал что-то про метод векторных диаграмм (читаю книгу, вижу фигу). Если я хочу его применить сюда, то мне нужно отложить известный вектор ($y(t)$, как я понимаю), а затем, используя соотношение фаз для цепи с конденсатором, отложить $x(t)$. Но у меня затруднения есть, как обращаться с параллельным соединением $RC$ в таком случае.

 Профиль  
                  
 
 Re: Цепь переменного тока
Сообщение27.10.2016, 03:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5003
ФТИ им. Иоффе СПб
StaticZero в сообщении #1163398 писал(а):
в таком случае $R = 0$ и получается последовательное $RC$-соединение
Это как? (Нарисуйте что получается, и поймёте, что у Вас все хорошо.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Цепь переменного тока
Сообщение27.10.2016, 04:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
А, тьфу. Чтоб получилось упомянутое RC-последовательное соединение, нужно, чтобы сопротивление $R$ было бесконечно большое. Тогда и $\mu \to 0$, постоянная времени станет бесконечно большой, но того же порядка, что и $\mu$, потому $\mu \tau \sim 1$, и тогда тангенс равен $+\infty$ (сигнал $y(t)$ запаздывает на четверть периода относительно сигнала $x(t)$).

Если сопротивление нулевое, то конденсатор игнорируется, действительно. Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Цепь переменного тока
Сообщение27.10.2016, 06:52 


27/08/16
9426
StaticZero в сообщении #1163398 писал(а):
Можно ли проще?
Разумеется, можно, в частотной области. Записав импеданс конденсатора в виде $Z_c=\frac{1}{j \omega C}$ и, пользуясь прямой аналогией с цепями постоянного тока, сразу же записав передаточную функцию этой цепи. Сможете сразу же без длительных расчётов сами записать передаточную функцию вашей цепи $H(\omega)=x(\omega)/y(\omega)$, приняв, что вместо конденсатора у вас в схеме присутствует сопротивление $Z_c$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Цепь переменного тока
Сообщение27.10.2016, 09:18 
Модератор
Аватара пользователя


16/02/11
3788
Бурашево
А вы не векторные диаграммы читайте, а про символический метод (метод комплексных амплитуд). Но лучше изучить целиком раздел любого учебника по электротехнике с названием "Линейные цепи при гармоническом воздействии" или, например, "Линейные цепи периодического синусоидального тока" и тп.

Векторные диаграммы - это своеобразный пережиток прошлого, который позволяет визуализировать расчёты с комплексными числами и выполнить их с помощью циркуля, транспортира, линейки и карандаша. С векторными диаграммами не имея привычки очень легко запутаться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Цепь переменного тока
Сообщение27.10.2016, 11:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407

(Оффтоп)

profrotter в сообщении #1163429 писал(а):
Но лучше изучить целиком раздел любого учебника по электротехнике

Назовёте конкретные хорошие учебники?

И вообще, не пора ли заводить свою тему "Ищу литературу по..." в разделе "Механика и Техника"?

 Профиль  
                  
 
 Re: Цепь переменного тока
Сообщение27.10.2016, 13:14 
Модератор
Аватара пользователя


16/02/11
3788
Бурашево
Атабеков Теоретические основы электротехники;
Бессонов Теоретические основы электротехники;
Зернов, Карпов Теория радиотехнических цепей;
Попов Теория электрических цепей.

Думаю уже есть и новые учебники, просто я уже немножко устарел, как и этот список учебников.

 Профиль  
                  
 
 Re: Цепь переменного тока
Сообщение27.10.2016, 17:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
Вот, что у меня получилось с импедансом.

Вычислим импеданс RC-контура $Z_{RC}$. Конденсатор и резистор соединены параллельно, потому
$$
Z_{RC} = \dfrac{1}{\dfrac{1}{R} + j\omega C} = \dfrac{R}{1 + j \omega R C} = \dfrac{R (1 - j \omega \tau)}{1 + \omega^2 \tau^2}, \quad \tau = RC.
$$

Теперь найдём импеданс всей цепи:
$$
Z_0 = Z_{RC} + R_0 = \dfrac{R +  R_0(1 + \omega^2\tau^2)}{1 + \omega^2 \tau^2} - \dfrac{j \omega \tau R}{1 + \omega^2 \tau^2} = R_0 \dfrac{1 + R/R_0 + \omega^2\tau^2}{1 + \omega^2 \tau^2} - R_0 \dfrac{j \omega \tau R/R_0}{1 + \omega^2 \tau^2} = $$
$$=R_0 \left(\dfrac{1 + \mu \omega^2 \tau^2}{\mu + \mu \omega^2 \tau^2} - \dfrac{j \omega \tau (1 - \mu)}{\mu + \mu \omega^2 \tau^2}\right).$$

А теперь найдём модуль:
$$
|Z_0| = \dfrac{R_0}{\mu + \mu \omega^2\tau^2} \sqrt{1 + \mu^2 \omega^4 \tau^4 + 2 \mu \omega^2 \tau^2 + \omega^2 \tau^2(1 - 2 \mu + \mu^2)} = \dfrac{R_0}{\mu + \mu \omega^2\tau^2} \sqrt{(\omega^2 \tau^2 + 1)(\mu^2 \omega^2 \tau^2 +1)},
$$
$$
|Z_0| = \dfrac{R_0}{\mu} \sqrt{\dfrac{1 + \mu^2 \omega^2 \tau^2}{1 + \omega^2 \tau^2}}.
$$

Рассмотрим два сигнала $\hat X(j t)$ и $\hat Y(j t)$, являющихся аналитическими по отношению к $x(t)$ и $y(t)$ соответственно. Для них выполняется соотношение
$$
\dfrac{\hat X}{R_0} = \dfrac{\hat Y}{Z_0},
$$
а ещё учтём, что $\hat X = U \exp(j \omega t)$, $\hat Y = U_0 \exp(j (\omega t - \varphi))$, и теперь имеем
$$
U \exp(j \omega t) \dfrac{1}{\mu} \sqrt{\dfrac{1 + \mu^2 \omega^2 \tau^2}{1 + \omega^2 \tau^2}} \exp(j \theta) = U_0 \exp(j \omega t) \exp(-j \varphi),$$
где $\theta = \arg Z_0$. Равенство должно быть тождеством, и потому имеем
$$
\dfrac{U}{U_0} = \sqrt{\dfrac{\mu^2 + \mu^2\omega^2\tau^2}{1 + \mu^2\omega^2\tau^2}},
$$
$$
\tg \varphi = -\tg \theta = \dfrac{\omega \tau(1 - \mu)}{1 + \mu \omega^2 \tau^2}.
$$

Отношение амплитуд напряжений то же самое, но вот в $\tg \varphi$ в знаменателе одной "мю" не хватает.

-- 27.10.2016, 17:55 --

А. Это у меня в изначальном посте одна "мю" лишняя, вот в этом месте, где я не смог правильно умножить :facepalm: :
StaticZero в сообщении #1163398 писал(а):
$$
\tg \varphi = \dfrac{\tg \psi - \tg \theta}{1 + \tg \psi \tg \theta} = \dfrac{\omega \tau (1 - \mu)}{1 + \textcolor{red}{\mu^2} \omega^2 \tau^2}.$$


То есть можно считать, что результаты совпали.

-- 27.10.2016, 17:56 --

realeugene в сообщении #1163422 писал(а):
Сможете сразу же без длительных расчётов сами записать передаточную функцию вашей цепи $H(\omega)=x(\omega)/y(\omega)$, приняв, что вместо конденсатора у вас в схеме присутствует сопротивление $Z_c$?

Видимо, это?
StaticZero в сообщении #1163549 писал(а):
соотношение
$$
\dfrac{\hat X}{R_0} = \dfrac{\hat Y}{Z_0},
$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Цепь переменного тока
Сообщение27.10.2016, 18:27 


27/08/16
9426
StaticZero в сообщении #1163549 писал(а):
$$
\dfrac{\hat X}{R_0} = \dfrac{\hat Y}{Z_0},
$$

Да, и это есть комплексный ток через цепь, который должен совпадать для всей цепи и для $R_0$. А $Z_0=R_0+(R \parallel Z_C)$. Всё тривиально.

И нормализовывать комплексные числа, разделяя на самом верху действительную и мнимую часть, совершенно не обязательно. Короче тащить комплексные числитель и знаменатель. Тогда модуль их отношения есть отношение их модулей, а аргумент дроби есть аргумент числителя минус аргумент знаменателя.

 Профиль  
                  
 
 Re: Цепь переменного тока
Сообщение27.10.2016, 19:51 
Модератор
Аватара пользователя


16/02/11
3788
Бурашево
При наличии практики можно и ещё проще. Рассматриваемая цепь является Г-образным делителем напряжения для которого (если такую схему запомнить и вовремя распознать) можно сразу писать $\hat{X}=\hat{Y}\frac{R_0}{R_0+Z_{R||Z_c}}$. Вы, собственно это и писали, но в виде равенства дробей. А дальше простое преобразование к виду с осмысленными параметрами: $$\hat{X}=\hat{Y}\frac{R_0}{R_0+\frac{R\frac{1}{j\omega C}}{R+\frac{1}{j\omega C}}}=\hat{Y}\frac{R_0R+R_0\frac{1}{j\omega C}}{R_0R+R_0\frac{1}{j\omega C}+R\frac{1}{j\omega C}}=\hat{Y}\frac{R_0+R_0Rj\omega C}{RR_0j\omega C+R+R_0}=$$$$=\hat{Y}\frac{\frac{R_0}{R+R_0}+\frac{R_0R}{R+R_0}j\omega C}{1+\frac{RR_0}{R+R_0}j\omega C}=\hat{Y}\frac{H_0+j\omega\tau}{1+j\omega\tau},$$ где $H_0$ - коэффициент передачи цепи по постоянному напряжению, $\tau$ - постоянная времени цепи. Рассматривая далее модули и аргументы находите отношение амплитуд и разность фаз.

 Профиль  
                  
 
 Re: Цепь переменного тока
Сообщение27.10.2016, 22:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
StaticZero в сообщении #1163549 писал(а):
$$=R_0 \left(\dfrac{1 + \mu \omega^2 \tau^2}{\mu + \mu \omega^2 \tau^2} - \dfrac{j \omega \tau (1 - \mu)}{\mu + \mu \omega^2 \tau^2}\right).$$


Тут у меня такой вопрос возник: пусть мы знаем комплексный импеданс и хотим выдернуть из него ёмкость конденсатора. Для этого берём реактивную составляющую и решаем уравнение
$$
X_0 = - \dfrac{R \omega \tau}{1 + \omega^2 \tau^2}
$$
относительно $\tau = RC$. Оно сводится к квадратному
$$
X_0 u^2 + Ru + X_0 = 0, \qquad u = \omega \tau
$$
у которого дискриминант
$$
\mathcal D = R^2 - 4X^2_0.
$$

Если $R < 2X_0$, то решений уравнение не имеет. А как это может быть? Или реактивное сопротивление не может быть "абы каким", а обязательно такое, при котором $2 X_0 < R$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Цепь переменного тока
Сообщение28.10.2016, 07:36 


27/08/16
9426
Не совсем понятно, что именно вы "выдергиваете", но, да, если решаемое уравнение не имеет решений, это значит, что в рамках желаемой схемы реализовать желаемый импеданс нельзя. Если ёмкость конденсатора в вашей схеме имеет большую величину, то его реактивное сопротивление мало, но параллельно ему включённый резистор можно игнорировать. А если ёмкость конденсатора мала, то этот резистор, наоборот, шунтирует высокое реактивное сопротивление конденсатора. Дальше можно рассмотреть выражение $\left|\operatorname{Im}\left( R \parallel \frac{1}{j \omega C} \right)\right|\leq \left| R \parallel \frac{1}{j \omega C} \right| = \frac{1}{\left| 1/R + j \omega C\right|} \leq R$ Так что, да, существуют ограничения. Ну и ещё откуда-то двойка появляется в точном решении, значит, какие-то неравенства в оценке выше должны быть строгими.

 Профиль  
                  
 
 Re: Цепь переменного тока
Сообщение28.10.2016, 09:42 
Модератор
Аватара пользователя


16/02/11
3788
Бурашево
StaticZero в сообщении #1163616 писал(а):
хотим выдернуть из него ёмкость
Хотеть вы конечно можете, но выдернуть - непонятно чего выдёргиваете. Здесь речь может идти о нахождении схемы двухполюсника, имеющего заданное комплексное сопротивление. Решение такой задачи неоднозначно. А почитать надо раздел учебника "Синтез электрических цепей" и подобные. Там как раз начинается с синтеза двухполюсников. Но размещается такой раздел в конце учебников по электротехнике, то есть требует определённой подготовки.
StaticZero в сообщении #1163616 писал(а):
Или реактивное сопротивление не может быть "абы каким"
Это здесь вообще непричём. Просто посмотрите на график функции $X_0(x) = - \dfrac{Rx}{1 + x^2}$. Любые ли значения она может принимать при заданном $R$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Цепь переменного тока
Сообщение29.10.2016, 21:29 
Заслуженный участник


02/08/11
6874
К списку учебников хотелось бы присовокупить следующее замечательное программированное пособие:
Фрумкин А. М. Теоретические основы электротехники.

 Профиль  
                  
 
 Re: Цепь переменного тока
Сообщение29.10.2016, 21:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
Нет, у неё минимум $-R/2$ при $x = 1$. Понятно, спасибо :-)

И за литературу тоже. Будем почитать.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group