Цепь переменного тока

[StaticZero]

Дана цепь переменного тока, изображённая на рисунке (амплитуда синусоидального источника напряжения 1 В).
Нужно найти сдвиг фаз и отношение амплитуд сигналов $x(t)$ и $y(t)$ (имеются ввиду напряжения).

(Рисунок)

(Выкладки)

Ясно, что $y(t)$ есть функция источника питания. Пусть тогда $y(t) = U_0 \sin \omega t$. Обозначим ток, протекающий через резистор $R_0$, как $i_0$. Он связан с сигналом $x(t)$ таким образом:

$$ x(t) = i_0 R_0. $$

Следовательно, нам нужно найти только функцию $i_0(t)$. Рассмотрим $RC$-контур; обозначим напряжение на нём как $u$. Из суммы протекающих через его ветви токов получаем

$$ i_0 R = u + RC \ \dfrac{\mathrm du}{\mathrm dt}. $$

Учтём теперь, что $u = y(t) - x(t)$. Проведя несложные преобразования, получим

$$ x(t) \ \left(1 + \dfrac{R}{R_0}\right) = y(t) + RC (\dot{y} - \dot{x}), $$

$$ \dot x RC + \left(1 + \dfrac{R}{R_0}\right) x = y(t) + \dot y RC. $$

Подставим теперь сигнал $y(t)$, который нам известен, в уравнение. Получаем

$$ RC \ \dfrac{\mathrm dx}{\mathrm dt} + \left(1 + \dfrac{R}{R_0}\right) x = U_0 (\omega R C \cos \omega t + \sin \omega t). $$

Ищем решение дифференциального уравнения в виде $U \sin (\omega t + \varphi)$. Подставим, продифференцируем, фазу справа выделим, имеем

$$ U\left[\omega R C \cos (\omega t + \varphi) + \left(1 + \dfrac{R}{R_0}\right) \sin (\omega t + \varphi)\right] = U_0 (\omega R C \cos \omega t + \sin \omega t), $$

$$ U\sqrt{(\omega R C)^2 + \left(1 + \dfrac{R}{R_0}\right)^2} \sin (\omega t + \varphi + \theta) = U_0 \sqrt{(\omega R C)^2 + 1} \sin(\omega t + \psi), $$

$$ \tg \psi = \omega R C, \quad \tg \theta = \dfrac{\omega R C}{1 + \dfrac{R}{R_0}} = \dfrac{\tg \psi}{1 + \dfrac{R}{R_0}}. $$

Это равенство должно быть тождественное. Тогда нужно потребовать, чтобы $\theta + \varphi = \psi$ и

$$ \dfrac{U}{U_0} = \sqrt{\dfrac{1 + (\omega R C)^2}{(\omega R C)^2 + \left(1 + \dfrac{R}{R_0}\right)^2}}. $$

Обозначим здесь $ R C = \tau$ (постоянная времени $RC$-контура) и $1 + \dfrac{R}{R_0} = \dfrac{1}{\mu}$ ($\mu$ — некий коэффициент, характеризующий долю активного сопротивления контура во всём активном сопротивлении цепи). Тогда получим такое выражение:

$$ \dfrac{U}{U_0} = \sqrt{\dfrac{\mu^2 + \mu^2 \omega^2 \tau^2}{1 + \mu^2 \omega^2 \tau^2}}. $$

Теперь разберёмся с фазами. "Протангенсуем" обе части равенства $\varphi = \psi - \theta$ парой строчек выше (ага, вспомним, что углы $\psi$ и $\theta$ появились через преобразования синусов и выражаются через тангенсы):

$$ \tg \varphi = \dfrac{\tg \psi - \tg \theta}{1 + \tg \psi \tg \theta} = \dfrac{\omega \tau (1 - \mu)}{1 + \mu^2 \omega^2 \tau^2}.$$

В пределе $\omega \to 0$ получается

$$ \dfrac{U}{R_0} = \dfrac{U_0}{R + R_0}, \qquad \tg \varphi = 0,$$

как и должно быть.

Upd:
Посмотрим теперь в случае $\mu = 1$ (в таком случае $R = 0$ и получается последовательное $RC$-соединение). В таком случае $U = U_0$ (нормально) и $\tg \varphi = 0$ (неправильно). Значит, я где-то ошибся?

Вопросы такие:
1) правильно я посчитал?
2) даже для такой простой цепи получилась тонна выкладок, ещё и дифференциальное уравнение пришлось решать. Можно ли проще? Я слышал что-то про метод векторных диаграмм (читаю книгу, вижу фигу). Если я хочу его применить сюда, то мне нужно отложить известный вектор ($y(t)$, как я понимаю), а затем, используя соотношение фаз для цепи с конденсатором, отложить $x(t)$. Но у меня затруднения есть, как обращаться с параллельным соединением $RC$ в таком случае.

[amon]

StaticZero в сообщении #1163398 писал(а):

в таком случае $R = 0$ и получается последовательное $RC$-соединение

Это как? (Нарисуйте что получается, и поймёте, что у Вас все хорошо.)

[StaticZero]

А, тьфу. Чтоб получилось упомянутое RC-последовательное соединение, нужно, чтобы сопротивление $R$ было бесконечно большое. Тогда и $\mu \to 0$, постоянная времени станет бесконечно большой, но того же порядка, что и $\mu$, потому $\mu \tau \sim 1$, и тогда тангенс равен $+\infty$ (сигнал $y(t)$ запаздывает на четверть периода относительно сигнала $x(t)$).

Если сопротивление нулевое, то конденсатор игнорируется, действительно. Спасибо.

[realeugene]

StaticZero в сообщении #1163398 писал(а):

Можно ли проще?

Разумеется, можно, в частотной области. Записав импеданс конденсатора в виде $Z_c=\frac{1}{j \omega C}$ и, пользуясь прямой аналогией с цепями постоянного тока, сразу же записав передаточную функцию этой цепи. Сможете сразу же без длительных расчётов сами записать передаточную функцию вашей цепи $H(\omega)=x(\omega)/y(\omega)$, приняв, что вместо конденсатора у вас в схеме присутствует сопротивление $Z_c$?

[profrotter]

А вы не векторные диаграммы читайте, а про символический метод (метод комплексных амплитуд). Но лучше изучить целиком раздел любого учебника по электротехнике с названием "Линейные цепи при гармоническом воздействии" или, например, "Линейные цепи периодического синусоидального тока" и тп.

Векторные диаграммы - это своеобразный пережиток прошлого, который позволяет визуализировать расчёты с комплексными числами и выполнить их с помощью циркуля, транспортира, линейки и карандаша. С векторными диаграммами не имея привычки очень легко запутаться.

[Munin]

(Оффтоп)

profrotter в сообщении #1163429 писал(а):

Но лучше изучить целиком раздел любого учебника по электротехнике

Назовёте конкретные хорошие учебники?

И вообще, не пора ли заводить свою тему "Ищу литературу по..." в разделе "Механика и Техника"?

[profrotter]

Атабеков Теоретические основы электротехники;
Бессонов Теоретические основы электротехники;
Зернов, Карпов Теория радиотехнических цепей;
Попов Теория электрических цепей.

Думаю уже есть и новые учебники, просто я уже немножко устарел, как и этот список учебников.

[StaticZero]

Вот, что у меня получилось с импедансом.

Вычислим импеданс RC-контура $Z_{RC}$. Конденсатор и резистор соединены параллельно, потому

$$ Z_{RC} = \dfrac{1}{\dfrac{1}{R} + j\omega C} = \dfrac{R}{1 + j \omega R C} = \dfrac{R (1 - j \omega \tau)}{1 + \omega^2 \tau^2}, \quad \tau = RC. $$

Теперь найдём импеданс всей цепи:

$$ Z_0 = Z_{RC} + R_0 = \dfrac{R + R_0(1 + \omega^2\tau^2)}{1 + \omega^2 \tau^2} - \dfrac{j \omega \tau R}{1 + \omega^2 \tau^2} = R_0 \dfrac{1 + R/R_0 + \omega^2\tau^2}{1 + \omega^2 \tau^2} - R_0 \dfrac{j \omega \tau R/R_0}{1 + \omega^2 \tau^2} = $$

$$=R_0 \left(\dfrac{1 + \mu \omega^2 \tau^2}{\mu + \mu \omega^2 \tau^2} - \dfrac{j \omega \tau (1 - \mu)}{\mu + \mu \omega^2 \tau^2}\right).$$

А теперь найдём модуль:

$$ |Z_0| = \dfrac{R_0}{\mu + \mu \omega^2\tau^2} \sqrt{1 + \mu^2 \omega^4 \tau^4 + 2 \mu \omega^2 \tau^2 + \omega^2 \tau^2(1 - 2 \mu + \mu^2)} = \dfrac{R_0}{\mu + \mu \omega^2\tau^2} \sqrt{(\omega^2 \tau^2 + 1)(\mu^2 \omega^2 \tau^2 +1)}, $$

$$ |Z_0| = \dfrac{R_0}{\mu} \sqrt{\dfrac{1 + \mu^2 \omega^2 \tau^2}{1 + \omega^2 \tau^2}}. $$

Рассмотрим два сигнала $\hat X(j t)$ и $\hat Y(j t)$, являющихся аналитическими по отношению к $x(t)$ и $y(t)$ соответственно. Для них выполняется соотношение

$$ \dfrac{\hat X}{R_0} = \dfrac{\hat Y}{Z_0}, $$

а ещё учтём, что $\hat X = U \exp(j \omega t)$, $\hat Y = U_0 \exp(j (\omega t - \varphi))$, и теперь имеем

$$ U \exp(j \omega t) \dfrac{1}{\mu} \sqrt{\dfrac{1 + \mu^2 \omega^2 \tau^2}{1 + \omega^2 \tau^2}} \exp(j \theta) = U_0 \exp(j \omega t) \exp(-j \varphi),$$

где $\theta = \arg Z_0$. Равенство должно быть тождеством, и потому имеем

$$ \dfrac{U}{U_0} = \sqrt{\dfrac{\mu^2 + \mu^2\omega^2\tau^2}{1 + \mu^2\omega^2\tau^2}}, $$

$$ \tg \varphi = -\tg \theta = \dfrac{\omega \tau(1 - \mu)}{1 + \mu \omega^2 \tau^2}. $$

Отношение амплитуд напряжений то же самое, но вот в $\tg \varphi$ в знаменателе одной "мю" не хватает.

-- 27.10.2016, 17:55 --

А. Это у меня в изначальном посте одна "мю" лишняя, вот в этом месте, где я не смог правильно умножить :

StaticZero в сообщении #1163398 писал(а):

$$ \tg \varphi = \dfrac{\tg \psi - \tg \theta}{1 + \tg \psi \tg \theta} = \dfrac{\omega \tau (1 - \mu)}{1 + \textcolor{red}{\mu^2} \omega^2 \tau^2}.$$

То есть можно считать, что результаты совпали.

-- 27.10.2016, 17:56 --

realeugene в сообщении #1163422 писал(а):

Сможете сразу же без длительных расчётов сами записать передаточную функцию вашей цепи $H(\omega)=x(\omega)/y(\omega)$, приняв, что вместо конденсатора у вас в схеме присутствует сопротивление $Z_c$?

Видимо, это?

StaticZero в сообщении #1163549 писал(а):

соотношение

$$ \dfrac{\hat X}{R_0} = \dfrac{\hat Y}{Z_0}, $$

[realeugene]

StaticZero в сообщении #1163549 писал(а):

$$ \dfrac{\hat X}{R_0} = \dfrac{\hat Y}{Z_0}, $$

Да, и это есть комплексный ток через цепь, который должен совпадать для всей цепи и для $R_0$. А $Z_0=R_0+(R \parallel Z_C)$. Всё тривиально.

И нормализовывать комплексные числа, разделяя на самом верху действительную и мнимую часть, совершенно не обязательно. Короче тащить комплексные числитель и знаменатель. Тогда модуль их отношения есть отношение их модулей, а аргумент дроби есть аргумент числителя минус аргумент знаменателя.

[profrotter]

При наличии практики можно и ещё проще. Рассматриваемая цепь является Г-образным делителем напряжения для которого (если такую схему запомнить и вовремя распознать) можно сразу писать $\hat{X}=\hat{Y}\frac{R_0}{R_0+Z_{R||Z_c}}$. Вы, собственно это и писали, но в виде равенства дробей. А дальше простое преобразование к виду с осмысленными параметрами:

$$\hat{X}=\hat{Y}\frac{R_0}{R_0+\frac{R\frac{1}{j\omega C}}{R+\frac{1}{j\omega C}}}=\hat{Y}\frac{R_0R+R_0\frac{1}{j\omega C}}{R_0R+R_0\frac{1}{j\omega C}+R\frac{1}{j\omega C}}=\hat{Y}\frac{R_0+R_0Rj\omega C}{RR_0j\omega C+R+R_0}=$$

$$=\hat{Y}\frac{\frac{R_0}{R+R_0}+\frac{R_0R}{R+R_0}j\omega C}{1+\frac{RR_0}{R+R_0}j\omega C}=\hat{Y}\frac{H_0+j\omega\tau}{1+j\omega\tau},$$

где $H_0$ - коэффициент передачи цепи по постоянному напряжению, $\tau$ - постоянная времени цепи. Рассматривая далее модули и аргументы находите отношение амплитуд и разность фаз.

[StaticZero]

StaticZero в сообщении #1163549 писал(а):

$$=R_0 \left(\dfrac{1 + \mu \omega^2 \tau^2}{\mu + \mu \omega^2 \tau^2} - \dfrac{j \omega \tau (1 - \mu)}{\mu + \mu \omega^2 \tau^2}\right).$$

Тут у меня такой вопрос возник: пусть мы знаем комплексный импеданс и хотим выдернуть из него ёмкость конденсатора. Для этого берём реактивную составляющую и решаем уравнение

$$ X_0 = - \dfrac{R \omega \tau}{1 + \omega^2 \tau^2} $$

относительно $\tau = RC$. Оно сводится к квадратному

$$ X_0 u^2 + Ru + X_0 = 0, \qquad u = \omega \tau $$

у которого дискриминант

$$ \mathcal D = R^2 - 4X^2_0. $$

Если $R < 2X_0$, то решений уравнение не имеет. А как это может быть? Или реактивное сопротивление не может быть "абы каким", а обязательно такое, при котором $2 X_0 < R$?

[realeugene]

Не совсем понятно, что именно вы "выдергиваете", но, да, если решаемое уравнение не имеет решений, это значит, что в рамках желаемой схемы реализовать желаемый импеданс нельзя. Если ёмкость конденсатора в вашей схеме имеет большую величину, то его реактивное сопротивление мало, но параллельно ему включённый резистор можно игнорировать. А если ёмкость конденсатора мала, то этот резистор, наоборот, шунтирует высокое реактивное сопротивление конденсатора. Дальше можно рассмотреть выражение $\left|\operatorname{Im}\left( R \parallel \frac{1}{j \omega C} \right)\right|\leq \left| R \parallel \frac{1}{j \omega C} \right| = \frac{1}{\left| 1/R + j \omega C\right|} \leq R$ Так что, да, существуют ограничения. Ну и ещё откуда-то двойка появляется в точном решении, значит, какие-то неравенства в оценке выше должны быть строгими.

[profrotter]

StaticZero в сообщении #1163616 писал(а):

хотим выдернуть из него ёмкость

Хотеть вы конечно можете, но выдернуть - непонятно чего выдёргиваете. Здесь речь может идти о нахождении схемы двухполюсника, имеющего заданное комплексное сопротивление. Решение такой задачи неоднозначно. А почитать надо раздел учебника "Синтез электрических цепей" и подобные. Там как раз начинается с синтеза двухполюсников. Но размещается такой раздел в конце учебников по электротехнике, то есть требует определённой подготовки.

StaticZero в сообщении #1163616 писал(а):

Или реактивное сопротивление не может быть "абы каким"

Это здесь вообще непричём. Просто посмотрите на график функции $X_0(x) = - \dfrac{Rx}{1 + x^2}$. Любые ли значения она может принимать при заданном $R$?

[warlock66613]

К списку учебников хотелось бы присовокупить следующее замечательное программированное пособие:
Фрумкин А. М. Теоретические основы электротехники.

[StaticZero]

Нет, у неё минимум $-R/2$ при $x = 1$. Понятно, спасибо

И за литературу тоже. Будем почитать.