2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Три нуля и семёрка
Сообщение26.10.2016, 17:13 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
В вершинах квадрата стоят три нуля и семёрка. Можно вычитать из любого числа единицу, одновременно прибавляя шестёрку к числу, написанному в одной из соседних вершин. Можно ли сделать все числа равными?
(по мотивам отбора на Cono Sur 2002)

 Профиль  
                  
 
 Re: Три нуля и семёрка
Сообщение27.10.2016, 05:59 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
Можно. Занумерум вершины по периметру числами от 1 до 4 так, чтобы 7-ка стояла в вершине #1. Операцию уменьшения числа в вершине $i$ на единицу и увеличения в вершине $j$ ($j=i\pm 1$) на 6 обозначим $(i-,j+)$.

Применяя две операции $(1-,4+)$, одну $(2-,3+)$, четыре $(3-,2+)$, три $(3-,4+)$, четыре $(4-,3+)$ и три $(4-,1+)$, получим в каждой вершине значение 23.

 Профиль  
                  
 
 Re: Три нуля и семёрка
Сообщение27.10.2016, 16:43 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Вчера пытался применить линейную алгебру, но заехал куда-то не туда. А как вы получили?

 Профиль  
                  
 
 Re: Три нуля и семёрка
Сообщение27.10.2016, 17:00 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
Моя линейная алгебра заехала туда :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Три нуля и семёрка
Сообщение27.10.2016, 22:43 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
maxal
Большое спасибо!

-- 27.10.2016, 22:44 --

(Оффтоп)

Сенька, бери мяч!

 Профиль  
                  
 
 Re: Три нуля и семёрка
Сообщение28.10.2016, 01:42 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Можно уменьшить количество операций до $13$:
$4\times (1-,2+)$
$3\times (2-,1+)$
$3\times (2-,3+)$
$3\times (1-,4+)$
Конечное значение уменьшится до $18$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Три нуля и семёрка
Сообщение28.10.2016, 11:51 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
svv
И Вам большое спасибо!

-- 28.10.2016, 11:52 --

Осталось доказать минимальность числа операций...

 Профиль  
                  
 
 Re: Три нуля и семёрка
Сообщение28.10.2016, 12:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
Ktina в сообщении #1163732 писал(а):
Осталось доказать минимальность числа операций...
А какие там варианты меньше? 3, 8, 13 -- для значений по углам и, соответственно, 1, 5, 9 -- число операций. (Это из согласования по модулю 4 и 5.) Всё это тривиально проверяется. Думаю, что в процессе своего решения svv получал минимальность.

Собственно, если не полениться потратить 5 минут на решение перебором, то отбросив 1,5 и 9 за 2 минуты, вполне можно за оставшиеся 3 убедиться, что 13 -- подходит. Например, так:
$2\times (2-,1+)$
$1\times (1-,2+)$
$3\times (3-,4+)$
$4\times (2-,3+)$
$3\times (3-,2+)$
(Это решение мне почему-то кажется более наглядным, если подбирать в уме.)

-- 28.10.2016, 13:01 --

Но догадаться с самого начала пойти таким перебором можно или от безнадёжности, или уже зная, что достаточно короткое решение существует. Я выбрал второй вариант :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Три нуля и семёрка
Сообщение28.10.2016, 15:13 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
grizzly
И Вам большое спасибо!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group