2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
 
 Re: Олимпиада НГУ - 2016
Сообщение10.10.2016, 23:20 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
bot в сообщении #1158512 писал(а):

2. Пусть $a+b>0, b+c>0, c+a>0. $ Докажите, что $\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a}\leqslant \frac{a+b+c}2.$

Нужно доказать, что $\sum\limits_{cyc}\left(\frac{a+b}{4}-\frac{ab}{a+b}\right)\geq0$, а это $\sum\limits_{cyc}\frac{(a-b)^2}{a+b}\geq0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиада НГУ - 2016
Сообщение11.10.2016, 00:19 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
gris в сообщении #1158740 писал(а):
Сколько существует строк из единиц (горизонтальная) и двоек

Ну да. И, значит, самая левая - то ли 1, то ли 2, так что $f_n = f_{n-1} + f_{n-2}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиада НГУ - 2016
Сообщение12.10.2016, 11:18 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
bot в сообщении #1158512 писал(а):
4. Найдите наибольшее действительное число $z$, удовлетворяющее условиям: $$x + y + z=7 \quad\text{и}\quad xy +xz + yz=11.$$

Поскольку это пересечение какой-то сферы и плоскости -- экстремумы достигаются, очевидно, при $x=y$, т.е. $2x+z=7$ и $x^2+2xz=11$. Откуда и квадратное уравнение daogiauvang (а неравенств и вовсе не нужно.

bot в сообщении #1158512 писал(а):
5. Пусть $|q|<1$ и последовательность $x_n$ удовлетворяет рекуррентности $x_{n+1}=q\cos x_n.$
Докажите, что $x_n$ сходится при любом начальном члене $x_0.$

Это -- принцип сжимающих отображений. На втором курсе к этому моменту он уже должен был быть на лекциях.

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиада НГУ - 2016
Сообщение16.10.2016, 21:29 
Аватара пользователя


21/09/13
136
Уфа
DeBill в сообщении #1158681 писал(а):
Ваше решение напомнило известную задачу:
сколько корней у многочлена $1+x+ \frac{x^2}{2!} + ... + \frac{x^n}{n!}$ ?

Как её решить? :-) Точнее, как можно показать, что для четных $n$ корней нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиада НГУ - 2016
Сообщение17.10.2016, 04:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5420
Нов-ск
RikkiTan1 в сообщении #1160358 писал(а):
DeBill в сообщении #1158681 писал(а):
Ваше решение напомнило известную задачу:
сколько корней у многочлена $1+x+ \frac{x^2}{2!} + ... + \frac{x^n}{n!}$ ?

Как её решить? :-) Точнее, как можно показать, что для четных $n$ корней нет.

$\min q(x) = q(x_{min}) =  q(x_{min})  -  q'(x_{min}) = \dots$

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиада НГУ - 2016
Сообщение23.10.2016, 17:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5903
Новосибирск
2 тур (23 октября)

1 курс

1. Найдите все натуральные числа, разложимые в сумму двух взаимно простых чисел, отличных от единицы.

2. Пусть $a^2+b^2=4 $ и $a+b\ne -2.$ Докажите, что $\frac{ab}{a+b+2}\leqslant \sqrt 2-1.$

3. Найдите все $n$, при которых система $\left\{\begin{matrix} x_1+x_2+\ldots+x_n=2016\\  \frac1{x_1}+\frac1{x_2}+\ldots+\frac1{x_n}=2016\end{matrix}\right.$ разрешима в положительных действительных числах.

4. В четырёхугольник $ABCD$ можно было вписать окружность, но воздержались. Зато в каждый его внутренний угол вписали окружность так, что она касается двух других. Докажите, что хотя бы две из четырех окружностей равны.

5. Первые 8 простых чисел расположились в произвольном порядке в вершинах куба. Если щёлкнуть по какому-либо его ребру, то числа на его концах возрастут на единицу. Можно ли так прощёлкать куб, чтобы все числа в его вершинах стали делиться на 29?

2-4 курсы (вузы с профилирующей математикой)

1. Пусть непрерывная на отрезке $[0;1]$ функция $f$ удовлетворяет условиям $0\leqslant f(x)\leqslant \frac14$ и $\int\limits_0^1 f(x)dx\geqslant \frac18.$ Докажите, что $\int\limits_0^1 \sqrt{f(x)}dx\geqslant \frac14.$

2. Пусть ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$ абсолютно сходится. Докажите, что $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\sqrt{|a_1|}+\sqrt{|a_2|}+\ldots+\sqrt{|a_n|}}{n}=0.$

3. Произведение двух квадратных матриц третьего порядка есть нулевая матрица. Докажите, что хотя бы одна из них имеет ранг не больше единицы.

4. Пусть все точки вещественной прямой являются точками локального минимума функции $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$. Докажите, что множество значений функции $f$ не более чем счётно.


5. Произвольно взятые 3 вершины $n$-мерного куба образуют треугольник. Пусть $\Delta_n$ - число всех таких различных (неконгруентных) треугольников.
Докажите, что $$\ds\Delta_n=\Big\lfloor\frac{2n^3+21n^2-6n}{72}\Big\rfloor.$$ Здесь $\lfloor x\rfloor$ означает целую часть числа $x$, то есть наибольшее целое, не превосходящее $x.$

2-4 курсы (вузы без профилирующей математики)

1. Найдите наименьшее значение выражения $2xy + 3yz + 4zx,$ если $x,y,z $ положительны и $ xyz =3$.
Найдите значения переменных, дающее это наименьшее значение.

2. Последовательность определена рекуррентной формулой $x_0=a, x_{n+1}=bx_n+c.$ Определите все возможные значения параметров $a, b, c$, при которых последовательность сходится.

3. Вычислите предел $\lim\limits_{n\to\infty}\left(1-\frac1{2^2}\right)\left(1-\frac1{3^2}\right)\ldots \left(1-\frac1{n^2}\right).$

4. Пусть вещественная функция $f$ непрерывна на всей числовой прямой и $\int\limits_x^{x+1} f(t)dt= \int\limits_0^{1} f(t)dt$ для любого $x\in \mathbb R.  $ Докажите, что $f$ периодична.

5. Вычислите интеграл $\ds\int\limits_{-1}^1 \ln\left(\sqrt{1+|x|+\arcsin^2 x}+\arcsin x\right)\, dx.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиада НГУ - 2016
Сообщение23.10.2016, 19:00 
Заслуженный участник


03/01/09
1677
москва
1 курс

3. $\sum \limits _{i=1}^n (x_i+\frac 1{x_i})=2\cdot 2016\geqslant 2n$, отсюда $n\leqslant 2016$. Решения есть для $2\leqslant n\leqslant 2016$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиада НГУ - 2016
Сообщение23.10.2016, 20:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
1 курс.
1. Нечётные делим пополам с округлением вниз и вверх; кратные четырём делим пополам плюс-минус 1; остальные чётные делим пополам плюс-минус 2. (Если 2 числа имеют общий делитель, то их разность имеет тот же делитель.) Начало ряда проверяем вручную.
Но это уровень 6-7 кл.

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиада НГУ - 2016
Сообщение23.10.2016, 22:14 
Заслуженный участник


03/01/09
1677
москва
2-4 курсы (с проф. математикой)

1. $\int \limits _0^1(\sqrt {f(x)}\sqrt {f(x)}-\frac 18)dx\geqslant 0$,так как $f(x)\leqslant \frac 12$, то $\int \limits _0^1(\frac 12\sqrt {f(x)}-\frac 18)dx\geqslant 0.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиада НГУ - 2016
Сообщение23.10.2016, 22:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14429
4. Про локальные минимумы. Вроде бы такая функция должна быть кусочно постоянной с возможными изолированными точками строгого минимума и интервалами знакопостоянства. То есть чередуются интервалы и, возможно, точки. Это дело нумеруется легко. Интервалы с помощью рациональных чисел, точки прикрепляются к интервалам.
4. Про интеграл. Там можно подифференцировать по верхнему пределу, представив левый интеграл в виде разности интегралов. Получится, что единичка — период (возможно, не минимальный).

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиада НГУ - 2016
Сообщение23.10.2016, 23:44 


03/03/12
1380
bot в сообщении #1162277 писал(а):
3. Вычислите предел $\lim\limits_{n\to\infty}\left(1-\frac1{2^2}\right)\left(1-\frac1{3^2}\right)\ldots \left(1-\frac1{n^2}\right).$

$\lim\limits_{n\to\infty}\left(1-\frac1{2^2}\right)\left(1-\frac1{3^2}\right)\ldots \left(1-\frac1{n^2}\right)=\frac1 2.$
Разложить разность квадратов, перегруппировать, сократить. Получится
$\lim\limits_{n\to\infty}\{\frac1 2\idots\frac{n+1}{n}\}=\frac1 2$

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиада НГУ - 2016
Сообщение24.10.2016, 00:05 


19/05/10

3940
Россия
TR63 в сообщении #1162392 писал(а):
...Разложить на сумму квадратов...
Тут дети иногда читают. TR63, ну не можете грамотно писать, копируйте фразы из учебников что-ли.

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиада НГУ - 2016
Сообщение24.10.2016, 00:12 


03/03/12
1380
bot в сообщении #1162277 писал(а):
1. Найдите наименьшее значение выражения $2xy + 3yz + 4zx,$ если $x,y,z $ положительны и $ xyz =3$.

Применяем АМ-ГМ. Получаем минимум равен 18 при равных слагаемых. Решаем систему...

-- 24.10.2016, 01:15 --

mihailm, опечатка. Исправила.

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиада НГУ - 2016
Сообщение24.10.2016, 00:19 


19/05/10

3940
Россия

(Оффтоп)

TR63, "разложить на разность квадратов" тоже неправильно, можно, например, "разложить как разность квадратов"

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиада НГУ - 2016
Сообщение24.10.2016, 00:29 


03/03/12
1380

(Оффтоп)

mihailm, исправила. Спасибо. Примеры очень лёгкие. Дети разберутся.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 56 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group