2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Несобственный интеграл от триг. и гиперболических функций
Сообщение17.10.2016, 21:27 


07/05/16
11
Добрый вечер, господа.
Прошу помочь с интегралом

$\int\limits_{0}^{\infty}\frac{\sin(px)\sinh(x)}{\cosh^\alpha(x)}dx$.

$\alpha$ - нецелое число. Параметр $a$ не является малым.
Заранее благодарен.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите, пожалуйста, с интегралом.
Сообщение17.10.2016, 21:47 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
11400
Кронштадт
DAlembert в сообщении #1160639 писал(а):
$\alpha$ - нецелое число. Параметр $a$ не является малым.
А где тут параметр $a$? Или имеется в виду $\alpha$ (от малости $p$, по идее, ничего не зависит).

Не знаю уж, учебная это задача или нет, поэтому скажем так: Maxima это умеет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите, пожалуйста, с интегралом.
Сообщение17.10.2016, 22:51 


07/05/16
11
Прошу прощения, опечатался. Конечно же речь идет о параметре $p$. Если бы он был малым, то можно было бы разложить синус. Полученный таким образом интеграл содержится в справочнике. Задача не учебная, в учебных задачах практически все интегралы берутся без труда)

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите, пожалуйста, с интегралом.
Сообщение17.10.2016, 23:06 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
11400
Кронштадт
М-да, и я тоже извиняюсь, слишком резво упростил задачу, в общем случае это не срабатывает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите, пожалуйста, с интегралом.
Сообщение18.10.2016, 08:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1715
Москва
А в комплексную плоскость не пробовали выходить? Замкнутого ответа не получится из-за нецелости $\alpha $, но можно свести к интегралу по разрезу. Кажется, для полуцелого $\alpha $ что-то приличное может выйти.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите, пожалуйста, с интегралом.
Сообщение18.10.2016, 12:28 
Заслуженный участник


03/01/09
1153
москва
Считаем $\alpha >1$. Интегрируем один раз по частям:$$J=\dfrac p{\alpha -1}\int \limits _0^{\infty }\cos px\ch ^{1-\alpha }xdx=\dfrac {2^{\alpha -1}p}{\alpha -1}\int \limits _0^{\infty }\cos pxe^{(1-\alpha )x}\left (1+e^{-2x}\right )^{1-\alpha }dx$$Так как $\left (1+e^{-2x}\right )^{1-\alpha }=1+(1-\alpha )e^{-2x}+\dfrac {(1-\alpha )(-\alpha )}2e^{-4x}+\dots $, то затем интегрируем почленно полученный ряд.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите, пожалуйста, с интегралом.
Сообщение18.10.2016, 12:58 


11/07/16
25/10/17
193
Mathematica 11 выдает на гора https://www.dropbox.com/s/h1nw04jz0vb3rqu/integral%202.pdf?dl=0

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите, пожалуйста, с интегралом.
Сообщение18.10.2016, 21:58 


07/05/16
11
ex-math в сообщении #1160748 писал(а):
А в комплексную плоскость не пробовали выходить? Замкнутого ответа не получится из-за нецелости $\alpha $, но можно свести к интегралу по разрезу. Кажется, для полуцелого $\alpha $ что-то приличное может выйти.

Думал о переходе на кп, но, к сожалению, $\alpha$ даже не полуцелое, а вообще какое угодно. Но и при полуцелом я не знаю, что с ним делать)

mihiv в сообщении #1160776 писал(а):
Считаем $\alpha >1$. Интегрируем один раз по частям:$$J=\dfrac p{\alpha -1}\int \limits _0^{\infty }\cos px\ch ^{1-\alpha }(x)dx=\dfrac {2^{\alpha -1}p}{\alpha -1}\int \limits _0^{\infty }\cos pxe^{(1-\alpha )x}\left (1+e^{-2x}\right )^{1-\alpha }dx$$Так как $\left (1+e^{-2x}\right )^{1-\alpha }=1+(1-\alpha )e^{-2x}+\dfrac {(1-\alpha )(-\alpha )}2e^{-4x}+\dots $, то затем интегрируем почленно полученный ряд.


Вы гений) Я задумывался об интегрировании по частям, но поленился все расписать, а в уме не смог прикинуть и увидеть, что после этого всего справа получается один из интегралов такой же, что и слева. Вы даже не представляете, как помогли мне. С полученным в итоге интегралом я уже разбирался чуть раньше. Он есть в справочнике:
$$\int\limits_{0}^{\infty}\frac{\cos(px)}{\cosh^a(x)}dx=\frac{2^{a-2}}{\Gamma(a)}\Gamma\left(\frac{a}{2}-i\frac{p}{2}\right)\Gamma\left(\frac{a}{2}+i\frac{p}{2}\right)$$

Markiyan Hirnyk в сообщении #1160783 писал(а):
Mathematica 11 выдает на гора https://www.dropbox.com/s/h1nw04jz0vb3rqu/integral%202.pdf?dl=0

Да, это я тоже видел) Я не знаю, как потом бороться с такими выражениями)

Господа, всем огромное спасибо за помощь!

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите, пожалуйста, с интегралом.
Сообщение18.10.2016, 22:45 


11/07/16
25/10/17
193
Цитата:
Да, это я тоже видел

Понимаю, что все мы видели и все мы знаем.
Цитата:
Я не знаю, как потом бороться с такими выражениями

Если вы имеете в виду, как работать с ответом (в частности, как его обвеличинить), то см. https://www.dropbox.com/s/d2eft016q4e2o84/integral3.pdf?dl=0

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите, пожалуйста, с интегралом.
Сообщение18.10.2016, 23:23 


07/05/16
11
Имелось в виду свести его к более менее компактному виду)

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите, пожалуйста, с интегралом.
Сообщение18.10.2016, 23:35 


11/07/16
25/10/17
193
Цитата:
Имелось в виду свести его к более менее компактному виду)
Полагаю, что результат достаточно компактен. Пожалуйста, высказывайтесь ясно и четко.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group