2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Задача по матану
Сообщение10.10.2016, 14:45 
Аватара пользователя


07/01/15
1145
Пусть $n \ge 3 -$ фиксированное целое число. Рассмотрим все возможные конечные последовательности $(a_1, \ldots, a_n)$ положительных чисел. Найти наименьшую верхнюю и наибольую нижнюю грани множества чисел $$\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{a_k}{a_k+a_{k+1}+a_{k+2}},$$ где принимается, что $a_{n+1} = a_1$ и $a_{n+2} = a_2.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по матану
Сообщение11.10.2016, 01:54 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Сумма ограничена снизу единицей:
$\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{a_k}{a_k+a_{k+1}+a_{k+2}}\geqslant\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{a_k}{a_1+\ldots+a_n}=1$
(при $n=3$ равенство, при $n>3$ строгое неравенство).
При этом $1$ — точная нижняя грань. Возьмём $a_k=x^k$, где $x>0$. Тогда предел суммы при $x\to\infty$ равен $1$.

Сумма ограничена сверху числом $n$, так как каждая из $n$ дробей меньше единицы. Moreover, она ограничена сверху $n-2$:
$\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{a_k}{a_k+a_{k+1}+a_{k+2}}=\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{a_k+a_{k+1}+a_{k+2}}{a_k+a_{k+1}+a_{k+2}}-\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{a_{k+1}}{a_k+a_{k+1}+a_{k+2}}-\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{a_{k+2}}{a_k+a_{k+1}+a_{k+2}}$
В правой части первая сумма равна $n$, вторая не меньше единицы, третья тоже (доказывается как выше с нижней гранью).
Это точная верхняя грань. Если взять $a_k=x^k$, где $x>0$, то при $x\to 0$ сумма стремится к $n-2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по матану
Сообщение11.10.2016, 03:48 
Аватара пользователя


07/01/15
1145
:appl:

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group