2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему
 
 Как выглядит волновая функция кристаллической решётки?
Сообщение05.10.2016, 12:13 


20/12/11
67
Задался я тут вопросом: а как вообще выглядит волновая функция кристаллической решётки макроскопического тела? Допустим, хотя бы в нерелятивистской КМ и при абсолютном нуле. Чем вообще такие функции можно приближать? Как гарантировать, что кристаллическая решётка вообще есть? Я рассмотрел несколько простеньких моделей.

Модель номер 1. Система из $n$ невзаимодействующих фермионов (без спина) в одномерной прямоугольной потенциальной яме бесконечной высоты на отрезке $[0;\pi]$. Теоретически, между фермионами должна действовать сила обменного отталкивания, и должно образоваться нечто вроде кристаллической решётки, можно посмотреть на её волновую функцию.
Волновая функция состояния с наименьшей энергией равна
$$
\psi(x_1,\ldots,x_n)=\left| \begin{matrix} \sin x_1 & \ldots & \sin x_n \\ \sin 2x_1 & \ldots & \sin 2x_n \\ \ldots & \ldots & \ldots \\ \sin nx_1 & \ldots & \sin nx_n \end{matrix} \right| = \sin x_1\ldots \sin x_n\cdot \prod_{j<k} (\cos x_k-\cos x_j)
$$
(последнее доказывается использованием формулы $\sin nx=\sin x(\cos^{n-1}x + C\cos^{n-3}x + \ldots)$ и сведением к определителю Вандермонда). Несмотря на то, что получена явная и красивая формула, здесь совершенно не видно, где тут вообще кристаллическая решётка, и будет ли у неё равномерный шаг при больших $n$. Однако, это так: плотность вероятности обнаружить частицу в точке $x$ равна
$$
\sum_{j=1}^n \sin^2 jx = \frac{2n+1}{4}-\frac{\sin(2n+1)x}{4\sin x},
$$
видно, что пики идут с примерно равным шагом (только чем дальше от центра, тем они менее явно выражены, из-за большей неопределённости координаты).

Модель номер 2. Квантованная цепочка из частиц, соединённых пружинами, с закреплёнными концами. Здесь работает теория гармонических осцилляторов, волновая функция наименьшей энергии будет иметь вид аффинно преобразованного гаусса с центром в точке классического равновесия (то есть, когда расстояния между соседними частицами равны).

В реальной кристаллической решётке, кажется, должно быть нечто среднее, потому что там важную роль играет как тождественность частиц, так и силы взаимодействия (в первую очередь электростатические). Только это всё в трёхмерном пространстве. Не понятно, как это вообще представить... И тут вопрос: а где вообще гарантия, что кристаллическая решётка вообще будет? Где гарантия, что у неё будет равномерный шаг? Кто-нибудь вообще доказывал такие теоремы? В книгах твердотельщиков всегда кристаллическая решётка даётся как некая данность, и уже из этого делаются выводы. В лучшем случае параметры рассчитываются через всякие квазиклассические приближения, с максимальной точностью 1%. Где гарантия, что квазиклассическое приближение вообще будет работать, если частиц очень много? Где гарантия, что из-за большого числа частиц не возникнет каких-нибудь интересных эффектов, похожих на эффекты ОТО, или что просто шаг решётки будет совсем неравномерным? Кто вообще в науке занимается такими вопросами или всем по барабану?

 Профиль  
                  
 
 Re: Как выглядит волновая функция кристаллической решётки?
Сообщение05.10.2016, 15:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
2553
ФТИ им. Иоффе СПб
pupsik в сообщении #1157476 писал(а):
Кто вообще в науке занимается такими вопросами или всем по барабану?
Занимается. Ответ - обменом, и вообще, никакими одночастичными взаимодействиями кристаллизацию не получить. Это штука сложная, связанная со спонтанным нарушением симметрии при фазовом переходе. Как-то худо-бедно обсчитана Вигнеровская кристаллизация (кристаллизация двумерного электронного газа при низких температурах). Так что ищите, и обрящите. Реальные трехмерные кристаллы из совсем первых принципов, на сколько я знаю, до сих пор ни кто не сосчитал.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 

Модераторы: profrotter, Jnrty, Парджеттер, Pphantom, whiterussian, Aer, photon, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group