2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему
 
 Как выглядит волновая функция кристаллической решётки?
Сообщение05.10.2016, 12:13 


20/12/11
67
Задался я тут вопросом: а как вообще выглядит волновая функция кристаллической решётки макроскопического тела? Допустим, хотя бы в нерелятивистской КМ и при абсолютном нуле. Чем вообще такие функции можно приближать? Как гарантировать, что кристаллическая решётка вообще есть? Я рассмотрел несколько простеньких моделей.

Модель номер 1. Система из $n$ невзаимодействующих фермионов (без спина) в одномерной прямоугольной потенциальной яме бесконечной высоты на отрезке $[0;\pi]$. Теоретически, между фермионами должна действовать сила обменного отталкивания, и должно образоваться нечто вроде кристаллической решётки, можно посмотреть на её волновую функцию.
Волновая функция состояния с наименьшей энергией равна
$$
\psi(x_1,\ldots,x_n)=\left| \begin{matrix} \sin x_1 & \ldots & \sin x_n \\ \sin 2x_1 & \ldots & \sin 2x_n \\ \ldots & \ldots & \ldots \\ \sin nx_1 & \ldots & \sin nx_n \end{matrix} \right| = \sin x_1\ldots \sin x_n\cdot \prod_{j<k} (\cos x_k-\cos x_j)
$$
(последнее доказывается использованием формулы $\sin nx=\sin x(\cos^{n-1}x + C\cos^{n-3}x + \ldots)$ и сведением к определителю Вандермонда). Несмотря на то, что получена явная и красивая формула, здесь совершенно не видно, где тут вообще кристаллическая решётка, и будет ли у неё равномерный шаг при больших $n$. Однако, это так: плотность вероятности обнаружить частицу в точке $x$ равна
$$
\sum_{j=1}^n \sin^2 jx = \frac{2n+1}{4}-\frac{\sin(2n+1)x}{4\sin x},
$$
видно, что пики идут с примерно равным шагом (только чем дальше от центра, тем они менее явно выражены, из-за большей неопределённости координаты).

Модель номер 2. Квантованная цепочка из частиц, соединённых пружинами, с закреплёнными концами. Здесь работает теория гармонических осцилляторов, волновая функция наименьшей энергии будет иметь вид аффинно преобразованного гаусса с центром в точке классического равновесия (то есть, когда расстояния между соседними частицами равны).

В реальной кристаллической решётке, кажется, должно быть нечто среднее, потому что там важную роль играет как тождественность частиц, так и силы взаимодействия (в первую очередь электростатические). Только это всё в трёхмерном пространстве. Не понятно, как это вообще представить... И тут вопрос: а где вообще гарантия, что кристаллическая решётка вообще будет? Где гарантия, что у неё будет равномерный шаг? Кто-нибудь вообще доказывал такие теоремы? В книгах твердотельщиков всегда кристаллическая решётка даётся как некая данность, и уже из этого делаются выводы. В лучшем случае параметры рассчитываются через всякие квазиклассические приближения, с максимальной точностью 1%. Где гарантия, что квазиклассическое приближение вообще будет работать, если частиц очень много? Где гарантия, что из-за большого числа частиц не возникнет каких-нибудь интересных эффектов, похожих на эффекты ОТО, или что просто шаг решётки будет совсем неравномерным? Кто вообще в науке занимается такими вопросами или всем по барабану?

 Профиль  
                  
 
 Re: Как выглядит волновая функция кристаллической решётки?
Сообщение05.10.2016, 15:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
2655
ФТИ им. Иоффе СПб
pupsik в сообщении #1157476 писал(а):
Кто вообще в науке занимается такими вопросами или всем по барабану?
Занимается. Ответ - обменом, и вообще, никакими одночастичными взаимодействиями кристаллизацию не получить. Это штука сложная, связанная со спонтанным нарушением симметрии при фазовом переходе. Как-то худо-бедно обсчитана Вигнеровская кристаллизация (кристаллизация двумерного электронного газа при низких температурах). Так что ищите, и обрящите. Реальные трехмерные кристаллы из совсем первых принципов, на сколько я знаю, до сих пор ни кто не сосчитал.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 

Модераторы: Парджеттер, Pphantom, Aer, photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: DimaM, Google [Bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group