Найти функции

[alisa-lebovski]

Найти функции на $(0,1)$, такие что $f(x)\to +\infty$, $x\to 0$, убывающие, удовлетворяющие условию

$$\min_{x\in (0,1)}\{f(x)+\lambda x\}\sim cf(1/\lambda),\quad\lambda\to\infty, $$

где $0<c<1$. При $f(x)=(-\ln x)^\alpha$, $\alpha\ge 1,$ получилось $c=1$, при $f(x)=x^{-\alpha}$, $\alpha>0$, получилось $c=0$. Нужно что-то промежуточное. Можно ли это сделать не подбором, а каким-то разумным способом? Можно переформулировать так:

$$f'(x)=-\lambda,\quad f(x)+\lambda x\sim cf(1/\lambda),\quad\lambda\to\infty.$$

[Math_er]

alisa-lebovski Искать в виде ряда пробовали?

[alisa-lebovski]

Нет, а виде какого именно ряда? И непонятно, как.
Асимптотика убывания (из бесконечности) в нуле медленнее любой степени, но быстрее логарифма.

[Vince Diesel]

Вот это условие

alisa-lebovski в сообщении #1156467 писал(а):

$f'(x)=-\lambda$

это для каких $x$, асимптотика или что?

[alisa-lebovski]

Это просто переформулировка предыдущего условия (о минимуме), вместо одной формулы - две.
При таких $x$ из первой формулы верна вторая.

[grizzly]

alisa-lebovski в сообщении #1156467 писал(а):

Можно ли это сделать не подбором, а каким-то разумным способом?

Вы бы рассказали, как Вы видите построение подбором -- если Вы подбираете не с помощью рядов, это может быть интересно. И почему, начав каким-то образом этот подбор, мы не можем продолжить его разумным способом?

Я бы посмотрел какие-нибудь классы функций, которые имеют промежуточную асимптотику между степенными и возведёнными в степень логарифмами. Что-нибудь типа $f(x)=\displaystyle\sum_{\limits{n\le x^{-1}}}(-\ln(x))^n$. Здесь можно варьировать показателями степени и скоростью добавления слагаемых -- думаю, что для любого $c$ существуют нужные варианты. Не знаю, легко ли их искать, но можно попробовать начать строить подобную функцию руками и посмотреть, что будет получаться.

[Vince Diesel]

alisa-lebovski в сообщении #1156467 писал(а):

$$f'(x)=-\lambda,\quad f(x)+\lambda x\sim cf(1/\lambda),\quad\lambda\to\infty.$$

Иcключим отсюда $\lambda$, заменим асимптотическое равенство на обычное и выразим $c$. Получим, что нужен предел при $x\to+0$ функции

$$ g(x)=\frac{f(x)-x f'(x)}{f\left(-\frac{1}{f'(x)}\right)}. $$

Для $f(x)=e^{a \ln^{1/2} x^{-1}}$ при $a>0$ математика дает $\lim\limits_{x\to+0} g(x)=e^{-a^2/2}$. Если взять другой показатель у логарифма: $f(x)=e^{\ln^{\alpha} x^{-1}}$, то при $\alpha>1/2$ предел будет равен нулю, а при $0<\alpha<1/2$ $-$ единице. Так что только одна функция с точностью до "мелочей" получается.

[grizzly]

Vince Diesel в сообщении #1156894 писал(а):

Для $f(x)=e^{a \ln^{1/2} x^{-1}}$

Надо же, а я с чего-то решил, что в элементарных функциях промежуточную асимптотику не выразить. Здорово!

[alisa-lebovski]

Спасибо большое!

[marij]

А почему не может быть например функция$f (x) =2/x$?

[--mS--]

marij, при такой функции $c=0$.

[marij]

Да,конечно.