Двойной интеграл

[svv]

StaticZero в сообщении #1156081 писал(а):

Второе слагаемое легко (прям как вы влёт — уххх! ), а второе неприятную гадость собой являет.

Вы хотели сказать — первое «гадость являет».
Если сначала интегрировать по $x$, то внутренний интеграл будет
$\int \limits_0^{\sqrt{2}-y}\sqrt{1 + 4x^2}dx=\left.\left(\frac 1 2 x \sqrt{1+4x^2}+\frac 1 4\ln (2x+\sqrt{1+4x^2})\right)\right|_0^{\sqrt 2-y}$
А теперь это надо ещё проинтегрировать по $y$!

Если же сначала интегрировать по $y$ — то всё гораздо проще.

[mihaild]

Dan B-Yallay в сообщении #1156071 писал(а):

Или трудно в любом порядке, или легко в любом.

Можно считерить: возьмем какую-нибудь гадость в качестве $f(y)$, и интеграл $\int\limits_{0}^{2\pi} \sin(x) \,dx \int\limits_{0}^{1} f(y) \mathrm d y$.

[StaticZero]

svv в сообщении #1156090 писал(а):

Вы хотели сказать — первое «гадость являет».

Да, наверное.

svv в сообщении #1156090 писал(а):

Если сначала интегрировать по $x$, то внутренний интеграл будет
$\int \limits_0^{\sqrt{2}-y}\sqrt{1 + 4x^2}dx=\left.\left(\frac 1 2 x \sqrt{1+4x^2}+\frac 1 4\ln (2x+\sqrt{1+4x^2})\right)\right|_0^{\sqrt 2-y}$
А теперь это надо ещё проинтегрировать по $y$!

Если же сначала интегрировать по $y$ — то всё гораздо проще.

Всё, теперь понял. Благодарю!

[Dan B-Yallay]

mihaild в сообщении #1156099 писал(а):

Можно считерить:

К сожалению, я сегодня тугодум и не доходит до меня.
Вижу, что подинтегральная функция разделилась по переменным, а где читерство - не пойму.

[mihaild]

Dan B-Yallay в сообщении #1156114 писал(а):

а где читерство - не пойму

Читерство в том, что формально под условие подходит: в одном порядке интегрировать убиться можно, в другом - легко; но при этом ни один человек в здравом уме не будет интегрировать это сначала по $y$.

[Dan B-Yallay]

mihaild
А вот теперь умножение на ноль вижу

[StaticZero]

То есть, интегралы с независимыми пределами можно переставлять как угодно?

$$ \int \limits_0^{2 \pi} \sin x \ \mathrm dx \int \limits_0^1 f(y) \ \mathrm dy = \int \limits_0^1 f(y) \ \mathrm dy \int \limits_0^{2 \pi} \sin x \ \mathrm dx = 0$$

[svv]

Посмотрите в любом учебнике по матанализу тему «Теорема Фубини».

Если условия теоремы Фубини не выполнены, возможны неприятности. См. книгу
Гелбаум, Олмстед. Контрпримеры в анализе. Глава 9, пункт 16 (стр. 157).