2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Целое среднее арифметическое
Сообщение22.09.2016, 00:48 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
(а)
Даны 2016 попарно различных натуральных чисел. Известно, что среднее арифметическое любых 13 из них является целым числом.
Каково наименьшее возможное значение наибольшего из этих 2016 чисел?

(б)
Даны 2016 попарно различных натуральных чисел. Известно, что если взять несколько из этих чисел с чётной суммой, то среднее арифметическое этих нескольких обязательно будет целым числом.
Каково в этом случае наименьшее возможное значение наибольшего из всех 2016 чисел?

 Профиль  
                  
 
 Re: Целое среднее арифметическое
Сообщение22.09.2016, 00:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
(а) Зафиксировав 12 чисел и перебирая 13-е, понимаем, что все числа одинаковы по модулю 13. Тогда минимальный набор - это $1,13+1,\dots,2015\cdot13+1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Целое среднее арифметическое
Сообщение22.09.2016, 00:55 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
ИСН
Только для того, чтобы доказать, что 12 зафиксированных чисел сравнимы по модулю 13 с остальными, придётся зафиксировать какие-то другие 12.

 Профиль  
                  
 
 Re: Целое среднее арифметическое
Сообщение22.09.2016, 00:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Ну да, это само собой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Целое среднее арифметическое
Сообщение22.09.2016, 01:04 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
ИСН
Небезыллюминационный интерес вызывает пункт (б).

 Профиль  
                  
 
 Re: Целое среднее арифметическое
Сообщение22.09.2016, 01:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
(б) Разложив нечётные числа в одну кучу, чётные в другую, и оперируя с ними подобным же образом, понимаем, что все нечётные одинаковы по модулям 2, 4, 6, и так до (сколько их - 1), а чётные - по модулям 2, 3, 4, и так тоже до (сколько их - 1). Чтобы не возиться с перекрёстным опылением (по-моему, оно слишком много портит), тупо сделаем все нечётными. Тогда это тоже будет арифметическая прогрессия, только с разностью $LCM(1,2,3\dots,1007)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Целое среднее арифметическое
Сообщение22.09.2016, 01:19 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
ИСН
А как быть с чётными суммами, в которых не все слагаемые одной чётности?

 Профиль  
                  
 
 Re: Целое среднее арифметическое
Сообщение22.09.2016, 01:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
А нету их же. Все числа нечётные.

 Профиль  
                  
 
 Re: Целое среднее арифметическое
Сообщение22.09.2016, 01:33 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
ИСН
Я про вот это:
ИСН в сообщении #1153445 писал(а):
(б) Разложив нечётные числа в одну кучу, чётные в другую, и оперируя с ними подобным же образом, понимаем, что все нечётные одинаковы по модулям 2, 4, 6, и так до (сколько их - 1), а чётные - по модулям 2, 3, 4, и так тоже до (сколько их - 1).

 Профиль  
                  
 
 Re: Целое среднее арифметическое
Сообщение22.09.2016, 08:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Ну да, всё правда. Только куча с чётными числами - пустая.

 Профиль  
                  
 
 Re: Целое среднее арифметическое
Сообщение22.09.2016, 10:30 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
ИСН
Большое спасибо!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group