2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Множество и его дополнение всюду плотны, континуальны
Сообщение21.09.2016, 13:33 
Аватара пользователя


11/08/11
1135
Задача: найти такое подмножество $\mathbb{R}$, чтобы и оно само, и его дополнение оба были всюду плотны в $\mathbb{R}$, и оба имели мощность континуума.

Мое решение:

(Оффтоп)

Здесь и далее под записью некоторого числа будем понимать запись этого числа в троичной позиционной системе счисления. Возьмем в качестве искомого множества множество всех чисел, в записи которых цифра $1$ встречается лишь конечное количество раз. Соответственно, его дополнение - множество всех чисел, в чьей записи цифра $1$ встречается бесконечное количество раз.

Действительно, наше множество, в частности, содержит в качестве своего подмножества множество всех чисел, чья запись единиц вообще не содержит; доказательство континуальной мощности этого множества оставляем читателю. С другой стороны, наше множество является подмножеством действительной прямой, и выше континуума мощности иметь не может. Стало быть, континуум оно и есть.

Дополнение множества содержит в качестве подмножества множество всех чисел, в чьей записи на местах с четным номером всюду стоят единицы, а на местах с нечетным номером всюду неединицы. Рассуждая аналогично предыдущему пункту, устанавливаем, что и мощность дополнения также континуум.

Для любого действительного числа $a$ можно построить последовательность элементов из нашего множества, сходящуюся к данному числу. А именно, последовательность чисел $\{ a_n \}$, где запись каждого $a_n$ с точностью до $n$-й чифры после запятой совпадает с записью самого числа $a$, зато после этой цифры идут одни только нули. Стало быть, наше множество всюду плотно.

Для дополнения к множеству тоже можно строить сходящуюся последовательность, только каждый элемент заканчивается не нулями, а единицами. Значит, и дополнение тоже всюду плотно.


Теперь вопрос: нет ли в решении ошибок? И есть ли какое-нибудь принципиально другое решение?

 Профиль  
                  
 
 Re: Множество и его дополнение всюду плотны, континуальны
Сообщение21.09.2016, 13:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
968
спб
Рассмотрите объединение отрицательных иррациональных чисел и положительных рациональных.

 Профиль  
                  
 
 Re: Множество и его дополнение всюду плотны, континуальны
Сообщение21.09.2016, 13:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14430
А если к Канторову множеству добавить рациональные числа? Мера ноль, то есть дополнение всюду плотно :?:

 Профиль  
                  
 
 Re: Множество и его дополнение всюду плотны, континуальны
Сообщение21.09.2016, 14:13 
Аватара пользователя


11/08/11
1135
demolishka
Читерство какое-то :twisted: Но да, условию удовлетворяет.

gris
Да. В качестве сходящейся к любому $a$ последовательности возьмем такие $a_n$, что до $n$-й цифры после запятой их запись совпадает с $a$, а после следуют цифры $010011000111...$; все члены иррациональны и множеству Кантора не принадлежат.

 Профиль  
                  
 
 Re: Множество и его дополнение всюду плотны, континуальны
Сообщение21.09.2016, 14:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
Более интересная (и нетрудная) задача: если множества локально континуальны (т.е. в пересечении с любым интервалом)

 Профиль  
                  
 
 Re: Множество и его дополнение всюду плотны, континуальны
Сообщение21.09.2016, 15:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14430
Red_Herring, счётная аддитивность меры Лебега в применении к сдвинутым Канторовым множествам не прокатит?

 Профиль  
                  
 
 Re: Множество и его дополнение всюду плотны, континуальны
Сообщение21.09.2016, 15:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
Конечно прокатит. Лично я заполнял последовательно дырки в Канторе меньшими Канторами

 Профиль  
                  
 
 Re: Множество и его дополнение всюду плотны, континуальны
Сообщение21.09.2016, 16:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14430
А я по простоте взял все пары рациональных чисел (и Канторов туда больших и маленьких) :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Множество и его дополнение всюду плотны, континуальны
Сообщение21.09.2016, 16:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
9953
неизмеримые по Лебегу множества не подойдут?

 Профиль  
                  
 
 Re: Множество и его дополнение всюду плотны, континуальны
Сообщение21.09.2016, 16:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
3049
Уфа
Red_Herring в сообщении #1153269 писал(а):
Более интересная (и нетрудная) задача: если множества локально континуальны (т.е. в пересечении с любым интервалом)
Вроде бы, конструкция в самом первом сообщении этому условию удовлетворяет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Множество и его дополнение всюду плотны, континуальны
Сообщение21.09.2016, 16:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
9953
worm2 в сообщении #1153291 писал(а):
Вроде бы, конструкция в самом первом сообщении этому условию удовлетворяет.

В "положительном" интервале будет только счетное множество.

 Профиль  
                  
 
 Re: Множество и его дополнение всюду плотны, континуальны
Сообщение21.09.2016, 16:57 
Аватара пользователя


11/08/11
1135
Dan B-Yallay
Мое решение же, которое под спойлером.

 Профиль  
                  
 
 Re: Множество и его дополнение всюду плотны, континуальны
Сообщение21.09.2016, 17:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
9953
INGELRII
Я почему-то первым посчитал ответ от demolishka :facepalm:

 Профиль  
                  
 
 Re: Множество и его дополнение всюду плотны, континуальны
Сообщение21.09.2016, 17:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
На всякий случай -- вот пример из "реальной жизни":

https://en.wikipedia.org/wiki/Liouville_number

(включая локальную континуальность)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group