найти число

[maxmatem]

найти четырехзначное число , которое в 83 раза больше суммы цифр данного числа.

знаю , что наверняка баян, но все же....

я пытался в лоб.

Пусть $\overline{abcd}$ искомое число.

тогда имеем $\overline{abcd}=1000a+100b+10c+d$, по условию имеем.

$1000a+100b+10c+d=83(a+b+c+d)$

$917a+17b-73b-82d=0$

Ясно что $a=1$. Тогда $917+17b=73c+82d$

А дальше подбором ? или можно как то по науке?

[Someone]

Можно. например, так. Ваше уравнение имеет вид

$$17b-73c-82d+917=0.\eqno(1)$$

Наименьший (по модулю) коэффициент равен $17$. Ближайшие к $73$, $82$, $917$ натуральные числа, делящиеся на $17$, есть $4\cdot 17=68$, $5\cdot 17=85$, $54\cdot 17=918$. Перепишем уравнение так:

$$(17b-68c-85d+918)-5c+3d-1=0,$$

то есть,

$$17(b-4c-5d+54)-5c+3d-1=0.$$

Обозначим

$$m=b-4c-5d+54.\eqno(2)$$

Тогда уравнение примет вид

$$17m-5c+3d-1=0,\eqno(3)$$

а из выражения (2) можно выразить

$$b=m+4c+5d-54.\eqno(4)$$

Далее с уравнением (3) поступаем так же, как с (1), вводим ещё одну переменную $n$, после чего удаётся $b$, $c$ и $d$ выразить через $m$ и $n$ с целыми коэффициентами.
После этого остаётся только учесть условия $0\leqslant b\leqslant 9$, $0\leqslant c\leqslant 9$, $0\leqslant d\leqslant 9$.

[maxmatem]

Someone
Спасибо за рекомендацию.

[mihiv]

Уравнение можно записать в виде: $999a+99b+9c=82(a+b+c+d)$. Отсюда следует, что $a+b+c+d$ делится на 9 и, следовательно равно какому-то из чисел: 9,18,27,36. Умножая каждое из этих чисел на 83, получим, что условию удовлетворяет только 1494.

[maxmatem]

mihiv
Вот оно! спасибо.

[Someone]

(mihiv)

Отлично!