2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Ошибка в A125268 [OEIS]
Сообщение31.08.2016, 06:55 
Аватара пользователя


21/09/12

1871
Последовательность A124665 включает в себя числа, которые не формируют простые числа при добавлении одной из цифр $0, 1, 2, ..., 9$ в любом месте в них (в том числе в начале или в конце).
Так, третье из них - $62$ - образует числа $62, 162, 262, ..., 962, 602, 612, 622, ..., 692, 620, 621, 622, ..., 629$ - и каждое из них составное.
Понятно, что для чисел последовательности, оканчивающихся на $0, 2, 4, 5, 6, 8$ следует проверять только вставку цифр $1, 3, 7, 9$ в самый конец проверяемого числа. - Остальные формируемые числа будут явно составными.
I. J. Kennedy тоже озаботился этим обстоятельством и придумал последовательность A125268, кандидатами в которой могут выступать только числа, оканчивающиеся на $1, 3, 7, 9$
Проблема в том, что в приведённых первых 27-ми членах аж три лишние. Это $251763$ (формирует простое $2517631$), $826377$ (формирует простое $8263771$), $1446519$ (формирует простое $14465197$).
Сам я в такие математические круги не вхож, да и с английским не в ладах. Прошу более компетентных участников проверить мои выкладки - и при их правильности внести необходимые изменения в данную A125268.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ошибка в A125268 [OEIS]
Сообщение31.08.2016, 10:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
3049
Уфа
Подтверждаю.
Можно было бы подумать, что последняя цифра должна оставаться неизменной (после неё ничего не вставляется), но в описании последовательности явно указано "(including at the beginning or end)", так что числа действительно лишние.

К A124665 тоже серьёзные вопросы. В определении явно не указано, что числа должны оканчиваться на чётное или 5. А в комментарии тут же утверждается, как доказанный факт, что должны. Ну и программа тоже только такие ищет. Хотя этот факт не то что не доказан, но и неверен.

P.S. Доступа к OEIS на запись не имею.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ошибка в A125268 [OEIS]
Сообщение31.08.2016, 12:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Зарегистрируйтесь да поправьте. Для этого никаких академических или иных credentials не нужно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ошибка в A125268 [OEIS]
Сообщение31.08.2016, 12:49 
Аватара пользователя


21/09/12

1871
ИСН
Да я б с удовольствием. Упёрся в
Цитата:
You do not have permission to create this user account, for the following reason:
The action you have requested is limited to users in the group: Administrators.

Проблему - понимаю - можно разрулить в личной переписке. Но мой английский испугает даже китайца.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ошибка в A125268 [OEIS]
Сообщение31.08.2016, 12:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
:shock: :shock:

 Профиль  
                  
 
 Re: Ошибка в A125268 [OEIS]
Сообщение04.09.2016, 12:22 
Аватара пользователя


21/09/12

1871
Извините, если это называется "подъёмом темы". Просто в продолжение поста возник вопрос.
Вероятность случайно выбранного числа от $1$ до $n$ оказаться простым примерно равна $1/\ln(n)$.
Т.е. вероятность, что число составное равна $(1-1/\ln(n))=(1-\lg(e)/\lg(n))$
Сплошным подсчётом получено, что A125268 включает в себя $972$ числа в пределах до $100 $ млн. При этом на простоту проверяются числа до 1 миллиарда.
При проверке каждого числа - из $100$ млн. - мы пробуем $10\ctod (8+2)=100$ вариантов. Ну и проверяется только $2/5$ чисел из $100$ млн. - оканчивающихся на $1, 3, 7, 9$.
Отсюда делаем грубую прикидку:
$2/5 \ctod (1-\lg(e)/\lg(n))^{100} \ctod 100000000=284432$ чисел должно быть в данной последовательности в пределах до $100$ млн. А эксперимент даёт только $972$. Вот тут я туплю. Моя формула, видимо неверна. А мне интересно, как поведёт себя A125268 в пределе - для очень больших чисел. Правильная формула разрешила бы мой вопрос.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ошибка в A125268 [OEIS]
Сообщение04.09.2016, 12:48 
Заслуженный участник


12/09/10
1547
atlakatl в сообщении #1148957 писал(а):
Вероятность случайно выбранного числа от $1$ до $n$ оказаться простым примерно равна $1/\ln(n)$

Это если ничего о числе помимо размера неизвестно. В вашем случае эта вероятность поболее будет. Ну и я бы поостерегся считать эти 100 событий независимыми.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ошибка в A125268 [OEIS]
Сообщение04.09.2016, 19:50 
Аватара пользователя


21/09/12

1871
Cash
Понял. Мы изначально отбрасываем числа, оканчивающиеся на $0, 2, 4, 5, 6, 8$. Т.е. вероятность простоты среди оставшихся чисел увеличивается в $5/2$. Изменяем формулу:
$2/5 \ctod (1-5/2 \ctod \lg(e)/\lg(n))^{100} \ctod 100000000=104$
Это более согласуется с экспериментом.
Как учитывать зависимость 100 проверок, я пока не знаю. Но можно подогнать под ответ формулу:
$2/5 \ctod (1-2,088 \ctod \lg(e)/\lg(n))^{100} \ctod 100000000=976$
Ну и переходим к пределу:
$\lim_{x \to \infty} 2/5 \ctod (1-0,907/(x+1))^{10 \ctod(x+2)} \ctod 10^{x}=\lim_{x \to \infty} (4,6027)  10^{-5} \ctod 10^{x}$
Числовой коэффициент при $10^{x}$ равен примерно $1/20000$. Это соответствует результатам экспериментов при $x=10, 11, 12$. Т.е. в пределе каждое 20000-е число будет входить в A125268.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ошибка в A125268 [OEIS]
Сообщение12.09.2016, 21:08 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
atlakatl в сообщении #1148028 писал(а):
Прошу более компетентных участников проверить мои выкладки - и при их правильности внести необходимые изменения в данную A125268
.

Последовательность A125268 исправлена. Спасибо за бдительность!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group