2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Рациональные решения уравнения 4 степени
Сообщение19.08.2016, 22:13 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
Даны рациональные числа $N,a$ такие, что $N\ne{2a^2}$
Докажите, что найдутся рациональные числа $x,y$, такие, что $\dfrac{y^4-a^4}{x^2-a^2}=N$

 Профиль  
                  
 
 Re: Рациональные решения уравнения 4 степени
Сообщение19.08.2016, 22:22 


25/08/11

1074
придёт nnosipov и всё решит...

 Профиль  
                  
 
 Re: Рациональные решения уравнения 4 степени
Сообщение20.08.2016, 02:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/07
762
Как и в предыдущей задаче точка $(a,a)$ даёт решение

$$\[
x = \frac{{ - 48a^9  + 96Na^7  - 72N^2 a^5  + 24N^3 a^3  + N^4 a}}{{\left( {4a^4  - 8Na^2  + N^2 } \right)^2 }}
\]
$

$$\[
y = \frac{{4a^5  - 3N^2 a}}{{4a^4  - 8Na^2  + N^2 }}
\]
$

Проверено PARI :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Рациональные решения уравнения 4 степени
Сообщение20.08.2016, 15:15 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
Коровьев, решение верное.
Чуть больше хлопот с уравнением $\dfrac{y^4-a^4}{x^2-b^2}=N$ и $N\ne\dfrac{2a^4}{b^2}$
Решение для него:
$x=\dfrac{b(-72N^2b^4a^8+96Nb^2a^{12}-48a^{16}+24N^3b^6a^4+N^4b^8)}{(-8b^2Na^4+N^2b^4+4a^8)^2}$
$y = \dfrac{(3N^2b^4-4a^8)a}{(-8b^2Na^4+N^2b^4+4a^8)}$.
Докажите, что при $N,a,b\ne{0}$ для существования рациональных решений $x,y$ этого уравнения
условие $N\ne\dfrac{2a^4}{b^2}$ является необходимым ( достаточность следует из приведенного выше решения для $x,y$).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group