2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Из какого наименьшего числа цифр всегда можно получить 100?
Сообщение16.08.2016, 00:34 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
gris в сообщении #1144304 писал(а):
...
Вообще, предлагаю обобщить задачу: Найти наименьшее $n$ такое, что между любыми $n$ ненулевых цифрами всегда можно так расставить скобки и знаки, что получится $100$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Из какого наименьшего числа цифр всегда можно получить 100?
Сообщение16.08.2016, 00:42 
Аватара пользователя


29/04/13
7134
Богородский
Уточнять условие надо. Какие операции допустимы? В каких позициях разрешено ставить знаки?

И грамматику поправить. Видимо, не "ненулевых цифрами", а "ненулевыми цифрами".

 Профиль  
                  
 
 Re: Из какого наименьшего числа цифр всегда можно получить 100?
Сообщение16.08.2016, 02:04 
Заслуженный участник


16/02/13
4105
Владивосток
Скорее, в каких позициях можно не ставить знаки. А то я возьмусь получить сотню из трёх цифр безо всяких знаков.

 Профиль  
                  
 
 Re: Из какого наименьшего числа цифр всегда можно получить 100?
Сообщение16.08.2016, 02:07 
Аватара пользователя


29/04/13
7134
Богородский
iifat в сообщении #1144396 писал(а):
А то я возьмусь получить сотню из трёх цифр безо всяких знаков.

Это если конкатенацию разрешить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Из какого наименьшего числа цифр всегда можно получить 100?
Сообщение16.08.2016, 04:33 
Аватара пользователя


20/10/12
308
Условие уточнить надо.

$\frac{\pi}{\pi} + ... + \frac{\pi}{\pi} = 100$

 Профиль  
                  
 
 Re: Из какого наименьшего числа цифр всегда можно получить 100?
Сообщение16.08.2016, 07:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14430
Я так понял, что разрешаются только $),\,(,\,+,\,-,\,\cdot,\,/$.
Сотню надо получить из любой из $9^n$ комбинаций. Впрочем, это надо уточнить у ТС.
Sphinx Pinastri, если цифры одинаковые, то можно обойтись и двадцатью двумя штуками.
При разрешении склеивания — пятью. Но цифры могут быть разными.
Можно и так: Доказать, что для любого $n$ существует строка из $n$ ненулевых цифр, из которой нельзя получить сотню.

 Профиль  
                  
 
 Re: Из какого наименьшего числа цифр всегда можно получить 100?
Сообщение16.08.2016, 08:23 
Аватара пользователя


29/04/13
7134
Богородский
gris в сообщении #1144404 писал(а):
Я так понял, что разрешаются только $),\,(,\,+,\,-,\,\cdot,\,/$.

Да. Разрешать склеивание, возведение в степень и пр. — упрощать задачу.

Сложнее всего, видимо, со строкой, состоящей из одних единиц.

gris в сообщении #1144404 писал(а):
Можно и так: Доказать, что для любого $n$ существует строка из $n$ ненулевых цифр, из которой нельзя получить сотню.

Если и можно это доказать, то только для маленьких $n$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Из какого наименьшего числа цифр всегда можно получить 100?
Сообщение16.08.2016, 09:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14430
Co строкой из единиц проще всего. Начиная с $n=14$, имеем $(1+1)\cdot(1+1)\cdot(1+...+1)\cdot(1+...+1)\cdot 1\cdot 1\cdot ...\cdot 1=100$

Но это не является контрпримером ни к одной постановке.

 Профиль  
                  
 
 Re: Из какого наименьшего числа цифр всегда можно получить 100?
Сообщение16.08.2016, 09:41 
Аватара пользователя


29/04/13
7134
Богородский
gris в сообщении #1144417 писал(а):
Co строкой из единиц проще всего. Начиная с $n=5$, имеем $(111-11)\cdot 1\cdot 1\cdot ...\cdot 1=100$

Так написал же, что склеивание не разрешать, дабы не упрощать задачу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Из какого наименьшего числа цифр всегда можно получить 100?
Сообщение16.08.2016, 09:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14430
Поправился. Я думаю, что можно попробовать получать два и пять. Если удастся доказать, что начиная с некоторой длины можно получить два и пять, то задача будет решена. Даже один. Хотя это будет путь не к минимальной длине, а просто к опровержению обратной постановки.
Да что нам эта сотня. Можно, например, ноль получать из строк. Очевидно, что сложения и вычитания тут не хватит. Надо добавить умножение и скобки.
$1\cdot 2-3-4+5+6-7-8+9=0$

 Профиль  
                  
 
 Re: Из какого наименьшего числа цифр всегда можно получить 100?
Сообщение16.08.2016, 11:06 


14/01/11
2916
gris в сообщении #1144419 писал(а):
Даже один. Хотя это будет путь не к минимальной длине, а просто к опровержению обратной постановки.

Для простоты можно начать с рассмотрения аналогичной задачи для систем счисления с меньшим основанием. К примеру, в троичной системе единицу можно получить всего из двух ненулевых цифр (если считать, что можно ставить знак перед первой цифрой):
$1\cdot 1=1_3,$
$-1+2=1_3,$
$2-1=1_3,$
$2 \div  2=1_3.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Из какого наименьшего числа цифр всегда можно получить 100?
Сообщение16.08.2016, 13:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14430
Интуитивно кажется, что из достаточно длинной строки можно получить, что угодно. Проходя по ней, убрать с помощью вычитания и деления сначала девятки, потом восьмёрки и прийти только к единичкам. Вот как в предыдущем сообщении. Ну а единички можно складывать. Я даже представил себе этакий автомат, обрабатывающий строки.
То есть, для любого натурального числа существует минимальная длина, сверх которой это число можно получить из любой строки. Ну а находить её значение как-то тоскливо :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Из какого наименьшего числа цифр всегда можно получить 100?
Сообщение16.08.2016, 14:54 
Аватара пользователя


29/04/13
7134
Богородский
gris в сообщении #1144465 писал(а):
То есть, для любого натурального числа существует минимальная длина, сверх которой это число можно получить из любой строки.

Об этом и говорил. Количество способов возрастает очень быстро.


gris в сообщении #1144465 писал(а):
Ну а находить её значение как-то тоскливо :-)

В нашем случае эта минимальная длина, скорее всего, $14$.

$(1+1)\cdot(1+1)\cdot (1+1+1+1+1)\cdot(1+1+1+1+1)=100$
$2\div1\cdot(1+1)\cdot (1+1+1+1+1)\cdot(1+1+1+1+1)=100$

И так далее...

Хотя, может кто и придумает решение покороче. От единичек многое зависит.

Либо не требовать $9^n$ вариантов...

 Профиль  
                  
 
 Re: Из какого наименьшего числа цифр всегда можно получить 100?
Сообщение18.08.2016, 03:50 


14/02/06
285

(Оффтоп)

https://vk.com/tchisla здесь обсуждается игра Tchisla, в рамках которой проводятся конкурсы по представлению чисел в виде выражений, составленных из одинаковых цифр и знаков математических операций. К сожалению, игра пока разработана лишь для ios.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group