Теоремы существования для псевдо-параболических уравнений

[MaximKat]

Добрый день (вечер)!
Существуют ли в природе более-менее общие теоремы существования решений для краевых задач для псевдо-параболических уравнений?

Конкретно:
уравнения как можно более общего вида, что-то вроде $(Au)_t+Bu=f(x,t)$, $A,B$ - положительно определенные элиптические операторы, коэффициенты достаточно гладкие
краевые условия хотя бы первого рода: $u|_\Gamma=0$
начальные условия: $u|_{t=0}=u_0(x)$

Что хотелось бы иметь:
при каких условиях будут существовать обобщенные решения, например из $L_2(0,T;W^1_2(\Omega))$ и решения почти всюду?
имеются ввиду, например, ограничения на гладкость начальных условий или правой части итд..

Что есть:
В книжке Дифференциальные уравнения в частных производных, В. П. Михайлов, 1976 есть такие результаты для параболических уравнений
Для псевдо-параболических ничего подобного не нашел, везде рассматриваются или какие-то конкретные уравнения (например одномерный случай или без правой части), или какие-то упрощенные, т.е. заданы краевые условия только на одном конце (одномерный случай) или ищутся классические решения, а не обобщенные

Поможете найти литературу?

[zoo]

не факт, что Вы найдете ссылку. Правильнее, как мне кажется, доказать теорему существования самому. Пишите априорную оценку:
$\frac{1}{2}\frac{d}{dt}\|u\|^2_{H^1_0}+\|u\|^2_{H^1_0}\le c\|f(t,\cdot)\|_{L_2}\|u\|_{H^1_0}$
Здесь $H^1_0$ -- подпространство в $W^1_2(\Omega)$ состоящее из функций с нулевым следом, с-положительная константа
отсюда
$\|u(t,\cdot)\|_{H^1_0}\le e^{-t}\|u_0\|_{H^1_0}+c\int_0^te^{-t+s}\|f(s,\cdot)\|_{L^2}ds$
И так при $u_0\in H^1_0$ и $f\in L^1([0,T],L^2(\Omega))$ Ваша задача имеет решение
в $L^\infty([0,T],H^1_0)$
Формальное доказательство проводится стандартными методами см. Лионс "Некоторые методы решения нелинейных краевых задач" Вам там нужен метод априорных оценок. Он там рассматривается для нелинейных дифуров, а для линейных это гораздо проще.
Область $\Omega$ я считал ограниченной с гладкой границей, $A,B:H^1\to H^{-1}$ коэрцитивными операторами

[MaximKat]

Эм... чтобы писать какие-то оценки надо, чтобы было что оценивать
я так понимаю, что у Вас $u$ - это решение? а кто сказал, что оно вообще есть?

в михайлове, для параболических уравнений используется метод фурье и метод галеркина, но там это все занимает не одну страницу, и я боюсь, что перенести это на псевдопараболический случай будет не так легко, либо я наделаю ошибок, потому что не до конца понимаю все что там делают

Не могу поверить, что за столько лет никто не рассматривал такой задачи, это же самое простое (в плане постановки) что можно придумать

Добавлено спустя 38 секунд:

Кроме того, меня больше интересуют не обобщенные решения, а почти всюду. С обобщенными в принципе ясно, что где-то там они будут , а с п.в. - не совсем

[zoo]

MaximKat писал(а):

Эм... чтобы писать какие-то оценки надо, чтобы было что оценивать

это у Вас от непонимания стандартных вещей, в данном случае от непонимания сути метода априорных оценок

MaximKat писал(а):

я так понимаю, что у Вас $u$ - это решение? а кто сказал, что оно вообще есть?

а сначала пишется априорная оценка а потом на ее основе доказывается существование решения, методом Галеркина, например. Вы бы прежде чем смайлики ставить почитали литературу, а то сейчас я на Ваc ржу. Я просто думал, что Вы в теме поэтому не стал разъяснять то, что разъясняют студентам

MaximKat писал(а):

в михайлове, для параболических уравнений используется метод фурье и метод галеркина,

а Вы, кроме Михайлова, что нибудь читали?

MaximKat писал(а):

но там это все занимает не одну страницу, и я боюсь, что перенести это на псевдопараболический случай будет не так легко, либо я наделаю ошибок, потому что не до конца понимаю все что там делают

а Вы не только это не понимаете

MaximKat писал(а):

Кроме того, меня больше интересуют не обобщенные решения, а почти всюду.

это странно, скажем так, звучит, а обобщенное решение из пространства Соболева это, что не почти всюду? Вы вообще чему-нибудь учитились, уважаемый? Кстати сказать, как правило, сначала доказывают существование обобщенного решения, а потом думают, как его регуляризовать т.е. доказать его гладкость. В Вашем случае, если уточнить вид операторов A, B можно наверное с помощью свойств параболических полугрупп регуляризовывать

MaximKat писал(а):

С обобщенными в принципе ясно, что где-то там они будут , а с п.в. - не совсем

знаете, мне тоже все ясно:)
на тему pseudo-parabolic почитайте гугл там ищется, хотя врядли Вы найдете именно ответ на Ваш вопрос, для статьи это слишкрм тривиально, а в учебниках рассматривают более классические вещи

[MaximKat]

Цитата:

а сначала пишется априорная оценка а потом на ее основе доказывается существование решения, методом Галеркина,

я бы сказал, что сначала строится приближенное решение, а потом доказывается априорная оценка

Цитата:

поэтому не стал разъяснять то, что разъясняют студентам

не вижу ничего плохого, в том чтобы объяснить мне (студенту) то, что объясняют студентам

Цитата:

а Вы, кроме Михайлова, что нибудь читали?

читал, читал. все читал. и ладыженскую читал, и лионса читал

Цитата:

а обобщенное решение из пространства Соболева это, что не почти всюду?

вам нравятся одни книжки, мне другие, зачем придираться к терминологии? п.в. в $L_2$, сильное решение, решение из $L^\infty(0,T;H^2\cap H^1_0)$ называйте как хотите...

Цитата:

как правило, сначала доказывают существование обобщенного решения, а потом думают, как его регуляризовать т.е. доказать его гладкость

ну вот и замечательно, значит вы отлично поняли что мне требуется

Цитата:

В Вашем случае, если уточнить вид операторов A, B можно наверное с помощью свойств параболических полугрупп регуляризовывать

вот с этого и надо было начинать. можно по-подробнее, никогда о таком не слыхал?

Цитата:

на тему pseudo-parabolic почитайте гугл там ищется

да что вы говорите... а мужики-то и не знали


резюмирую:
1. насчет априорных оценок для $u$ - видимо, вы имели ввиду как раз оценки для приближенного решения, виноват, не понял сразу
2. я охотно верю, что этим методом можно получить требуемый результат. но во-первых, если я это сделаю, то буду неуверен в отсутствии ошибок (да-да, именно по причине отсутствия опыта), во-вторых мне это нужно как довольно вспомогательные факты. именно поэтому я спрашивал не "как это доказать", а "знает ли кто-то о уже существующих результатах подобного рода"
3. то, что я чего-то не знаю, не означает, что вы можете мне хамить. если вы пришли к выводу, что я знаю меньше, чем вам показалось из начального вопроса, то это ваша ошибка в восприятии моих постов; я же не заявлял, что все знаю. в конце концов, если бы это было так, то я бы не пришел сюда с вопросами, логично?

[zoo]

однако, можно действовать еще проще

через $A^{-1}v$ обозначим решение краевой задачи
$Au=v,\quad u(\partial \Omega)=0$ Тогда, как известно (тут, конечно предполагается, что $A$ обладает стандартными свойствами эллиптического оператора)
$A^{-1}:H^{s}(\Omega)\to H^{s+2}_0(\Omega),\quad s\ge -1}$ -- ограниченный оператор
Делаем замену в уравнении $u=A^{-1}v$
получаем
$v_t+BA^{-1}v=f(t,x)\quad v\mid_{t=0}=v_0=Au_0$ при такихже стандартных предположениях относительно $B$ имеем
$BA^{-1}:H^{s}(\Omega)\to H^{s}(\Omega)$ -- огранич. оператор. Дальше писать лень:)
Содержательной эта задача может стать, если ord B>ord A

[MaximKat]

Да, спасибо, такое я уже нашел. Правда пока не совсем очевидно, как именно условия для операторов будут выглядеть для коэффициентов, но, думаю, разберусь.

Кому интересно, вот статьи:
R. E. Showalter and T. W. Ting - Pseudoparabolic Partial Differential Equations
R. E. Showalter - Existence and Representation Theorems for a Semilinear Sobolev Equation in Banach Space
Liu Yacheng, Wan Weiming and Lü Shujuan - Nonlinear pseudoparabolic equations in arbitrary dimensions
А вы говорите "слишком тривиально"

Добавлено спустя 1 минуту 4 секунды:

zoo писал(а):

Содержательной эта задача может стать, если ord B>ord A

разве не $\ge$?

[zoo]

MaximKat писал(а):

А вы говорите "слишком тривиально"

конкретный вопрос тривиален, а не вся тема

Добавлено спустя 1 минуту 4 секунды:

MaximKat писал(а):

разве не $\ge$?

случай "=" я разобрал выше, не думаю, что это шибко интересно

если бы тексты на которые Вы сослались еще можно было бы достать легко тогда все было бы просто замечательно

[MaximKat]

я просто не знал, как на этом форуме относятся к нарушению авторских прав...
но если можно, то вот линки:

1 - http://rapidshare.com/files/109146579/S ... g.pdf.html
2 - http://rapidshare.com/files/109146416/Show72.pdf.html
3 (с еще несколькими статьями, но уж как есть) - http://rapidshare.de/files/39076397/papers.zip.html

[zoo]

MaximKat писал(а):

я просто не знал, как на этом форуме относятся к нарушению авторских прав...
но если можно, то вот линки:

1 - http://rapidshare.com/files/109146579/S ... g.pdf.html
2 - http://rapidshare.com/files/109146416/Show72.pdf.html
3 (с еще несколькими статьями, но уж как есть) - http://rapidshare.de/files/39076397/papers.zip.html

большое спасибо