2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Гамильтонова система
Сообщение04.08.2016, 21:36 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
На $\mathbb{R}^4$ с координатами $q_i,p_i,  i=1,2$ задана гамильтонова система
$\dot q_i=\dfrac{\partial{H}}{\partial{p_i}}, \dot p_i=-\dfrac{\partial{H}}{\partial{q_i}}\qquad(1)$
Гамильтониан $H(q_1,q_2,p_1,p_2)=F(p_1,p_2)+G(q_1,q_2)$, где $F$ - однородная функция степени $n$,
$G$ - однородная функция степени $(-n)$, $n$ целое число. Все функции гладкие в области своего определения.
Докажите, что:
при $n\ne{0}$ система $(1)$ интегрируется в квадратурах на гиперповерхности $H=0$;
при $n=0$ система $(1)$ интегрируется в квадратурах на $\mathbb{R}^4$;
при любом целом $n$ у системы $(1)$ нет изолированных периодических траекторий.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гамильтонова система
Сообщение10.08.2016, 12:51 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
Подсказка.
Обозначим $V=\Sigma{p_i{q_i}}$ и воспользуемся тем, что скобка Пуассона $\{H,V\}=nH$.
Далее рассмотрим два множества - на первом $V,H$ независимы, на втором - зависимы.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group