Цитата:
Задача 1: Вычислите сумму ряда
с точностью до
.
Решение: Дан ряд с положительными монотонно убывающими членами, отброшенный остаток бесконечной суммы можно оценить сверху с помощью интегрального признака Коши-Маклорена.
То есть для нахождения суммы ряда с заданной точностью достаточно просуммировать его первые восемь членов:
.
Цитата:
Задача 2: Пусть
-- интегрируемая функция. Докажите, что существует такое число
, что
.
Решение: Воспользуемся тем фактом, что
. Применяем к интегралам в левой и правой частях равенства:
откуда
Существование доказано, но не ясно, почему это число оказывается именно из
.
Цитата:
Задача 3: Пусть
и
-- матрицы
. Найдите смешанную производную
матрично-значной функции
при
. (Производные функций со значениями в матрицах определяются точно так же, как производные числовых функций.)
Решение: Так как
, то
откуда
.
Цитата:
Задача 4. Функция
дифференцируема почти всюду (в смысле меры Лебега), и почти всюду
. Следует ли отсюда, что
Если да, докажите. Если нет, приведите контрпример.
Решение: Нет, не следует. Контрпример: