2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Задачи по анализу (проверить правильность решений)
Сообщение07.08.2016, 21:35 
Аватара пользователя


29/01/15
298
ВШЭ, НМУ
Цитата:
Задача 1: Вычислите сумму ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3}$ с точностью до $0,01$.


Решение: Дан ряд с положительными монотонно убывающими членами, отброшенный остаток бесконечной суммы можно оценить сверху с помощью интегрального признака Коши-Маклорена.

$$r_n \le \int\limits_{n}^{\infty} \frac{dx}{x^3} \le 0,01$$

$$\frac{1}{2 n^2} \le 0,01 \Rightarrow n \ge 8$$

То есть для нахождения суммы ряда с заданной точностью достаточно просуммировать его первые восемь членов: $S_8 = \sum\limits_{n=1}^{8} \frac{1}{n^3}$.

Цитата:
Задача 2: Пусть $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ -- интегрируемая функция. Докажите, что существует такое число $t \in [0,1]$, что $\int\limits_0^t f(x)dx = \frac{1}{2} \int\limits_0^1 f(x)dx$.


Решение: Воспользуемся тем фактом, что $\exists c \in [a,b] \colon \int\limits_a^b f(x)dx = f(c) \cdot (b-a)$. Применяем к интегралам в левой и правой частях равенства:
$$\frac{1}{2} \int\limits_0^1 f(x)dx = \frac{1}{2} f(c_1)$$
$$\int\limits_0^t f(x)dx = f(c_2) t,$$
откуда $$t = \frac{f(c_1)}{2f(c_2)}.$$ Существование доказано, но не ясно, почему это число оказывается именно из $[0,1]$.

Цитата:
Задача 3: Пусть $A$ и $B$ -- матрицы $n \times n$. Найдите смешанную производную $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$ матрично-значной функции $f(x,y) = \exp(xA + yB)$ при $x=y=0$. (Производные функций со значениями в матрицах определяются точно так же, как производные числовых функций.)


Решение: Так как $e^A = \mbox{\textit{E}} + \frac{A}{1!} + \frac{A^2}{2!} + \ldots$, то
$$f(x,y) = \mbox{\textit{E}} + (A \cdot e^{xA+yB} + B \cdot e^{xA+yB}) + \frac{1}{2}(A^2 \cdot e^{xA+yB} + AB \cdot e^{xA+yB} + BA \cdot e^{xA+yB} + B^2 \cdot e^{xA+yB}) + \ldots,$$
откуда $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = AB$.

Цитата:
Задача 4. Функция $f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ дифференцируема почти всюду (в смысле меры Лебега), и почти всюду $f'(x) = 1$. Следует ли отсюда, что $f(1) - f(0) = 1?$ Если да, докажите. Если нет, приведите контрпример.


Решение: Нет, не следует. Контрпример:
$$f(x) = \begin{cases}
  x, ~x \in \mathbb{R} \setminus 0,1\\
  5, ~x = 0\\
  15, ~x = 1
\end{cases}$$

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение07.08.2016, 22:28 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

Тему разделите. Каждую задачу в отдельную тему. Иначе у Вас получается свалка.

Приведите содержательные попытки решения там, где они отсутствуют.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи по анализу (проверить правильность решений)
Сообщение08.08.2016, 14:16 


20/03/14
12041
 i  Возвращено.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи по анализу (проверить правильность решений)
Сообщение11.08.2016, 12:07 
Заслуженный участник


13/12/05
4604
Цитата:
Задача 2: Пусть $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ -- интегрируемая функция. Докажите, что существует такое число $t \in [0,1]$, что $\int\limits_0^t f(x)dx = \frac{1}{2} \int\limits_0^1 f(x)dx$.


Рассмотрите функцию $F(t)=\int\limits_0^t f(x) dx$. Она непрерывна на $[0,1]$. $F(0)=0$ и поэтому $\frac{1}{2}  F(1)$ лежит между $F(0)$ и $F(1)$. Воспользуйтесь теоремой о промежуточных значениях непрерывной функции.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи по анализу (проверить правильность решений)
Сообщение15.08.2016, 19:38 
Аватара пользователя


29/01/15
298
ВШЭ, НМУ
Padawan в сообщении #1143328 писал(а):
Цитата:
Задача 2: Пусть $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ -- интегрируемая функция. Докажите, что существует такое число $t \in [0,1]$, что $\int\limits_0^t f(x)dx = \frac{1}{2} \int\limits_0^1 f(x)dx$.


Рассмотрите функцию $F(t)=\int\limits_0^t f(x) dx$. Она непрерывна на $[0,1]$. $F(0)=0$ и поэтому $\frac{1}{2}  F(1)$ лежит между $F(0)$ и $F(1)$. Воспользуйтесь теоремой о промежуточных значениях непрерывной функции.


Такой приём знаю, но по условию $f$ всего лишь интегрируемая функция, про её непрерывность ничего не сказано. Поэтому и быть уверенными в непрерывности интеграла мы не можем.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи по анализу (проверить правильность решений)
Сообщение15.08.2016, 19:41 


20/03/14
12041
Hasek
Вы не ходили читать учебники, да? :mrgreen:
Матан тоже забылся?
Что там со свойствами интегралов с переменным верхним пределом?

-- 15.08.2016, 21:43 --

 !  Hasek Замечание за избыточное цитирование. Для выборочного цитирования, если оно вообще необходимо, выделяйте нужный фрагмент и используйте кнопку "Вставка".

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи по анализу (проверить правильность решений)
Сообщение15.08.2016, 19:49 
Аватара пользователя


29/01/15
298
ВШЭ, НМУ
Lia, да, насчёт интеграла с переменным верхним пределом я не прав оказался. Теперь решение этой задачи понятно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: DariaRychenkova


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group