Непростое неравенство

[TR63]

$x=\frac{a^3}{13a^2+5b^2}+\frac{b^3}{13b^2+5c^2}+\frac{c^3}{13c^2+5a^2}$

$y=\frac{b^3}{13b^2+5a^2}+\frac{a^3}{13a^2+5c^2}+\frac{c^3}{13c^2+5b^2}=y_1+y_2+y_3$

$x+y\ge2z=2\cdot\frac{a+b+c}{18}$

Доказать, что$x\ge z$ при $0\le b\le c\le a$.

Допустим противное, что $x\le z$ тогда $y\ge z$. Докажем, что не может быть $y\ge z$. Допустим, что $y\ge z$ при $x\le z$.

$\max\{y_i\}\ge\frac1 3z=\frac1 3\frac{a+b+c}{18}$

Надо рассмотреть три варианта

1). $\max\{y_i\}=y_1$
2). $\max\{y_i\}=y_2$
3). $\max\{y_i\}=y_3$

и доказать, что в каждом из вариантов имеется противоречие.

1). $\max\{y_i\}=y_1$

$\frac{b^3}{13b^2+5a^2}\ge\frac{a+b+c}{54}$

$c\le\frac{54b^3-(13b^2+5a^2)(a+b)}{13b^2+5a^2}$ Из этого следует(если непонятно, могу объяснить), что$c\le b$. Но по условию $c\ge b$. Противоречие. Значит $y\le z$. Тогда$x+y\le2z$. Но по условию $x+y\ge z$. Противоречие. Значит $x\ge z$.

Случаи 2 и 3 рассматриваются аналогично (если непонятно, могу расписать подробнее).
Таким образом, при рассматриваемом расположении переменных, имеется противоречие. Что и требовалось доказать.

Если ошибок нет, то можно таким же образом посмотреть, есть ли противоречие при других расположениях переменных.

[Lia]

TR63
Будьте любезны, подробно, объясняя каждый свой шаг и каждый логический переход, обоснуйте все Ваши утверждения, ибо никто ничего не понял, и где и с чем случилось противоречие - тоже.

Не забудьте рассмотреть все случаи или оформить доказательство таким образом, чтобы было ясно, что противоречие достаточно показать в одном.

Как будет готово, сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.