2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 равенство 1
Сообщение01.08.2016, 09:50 


25/07/16
19
Пусть $S$ множество натуральных чисел ,которые не делятся на квадраты натуральных чисел,превосходящих единицу.Докажите,что для любово натурального числа $n$ сраведливо равенство $\sum_{k \in S} \left[ \sqrt{\dfrac{n}{k}} \right] =n

 Профиль  
                  
 
 Re: равенство 1
Сообщение02.08.2016, 18:22 
Заслуженный участник


08/04/08
8556
ghenghea в сообщении #1141322 писал(а):
натуральных чисел ,которые не делятся на квадраты натуральных чисел,превосходящих единицу.
Это называется проще - число, свободное от квадратов.
Доказать можно ну хоть по индукции. База очевидна. Шаг
$\sum\limits_{k \in S} \left[ \sqrt{\frac{n-1}{k}} \right] =n-1\Rightarrow \sum\limits_{k \in S} \left[ \sqrt{\frac{n}{k}} \right]=n$ верен, если верна разность формул:
$\sum\limits_{k \in S} \left[ \sqrt{\frac{n}{k}} \right] - \left[ \sqrt{\frac{n-1}{k}} \right]=1$
Слагаемые, очевидно, неотрицательны и не превосходят $1$. Слагаемое равно 1, только если $\frac{n}{k}$ - точный квадрат: $(\exists a)n=ka^2$. Но ясно, что есть всего одно разложение $n$ на произведение квадрата и числа, свободного от квадратов (легко написать общую формулу). Значит всего слагаемое суммы равно $1$. Откуда все и следует.

(Оффтоп)

ghenghea в сообщении #1141322 писал(а):
для любово
для любого

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group