2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Вопрос про номера алефов
Сообщение21.02.2006, 09:57 
Заслуженный участник


13/12/05
4517
Может ли быть, что |\lambda| = \aleph_\lambda (|l| - мощность порядкового числа l), или это один из вопросов, которые не зависят от аксиом и т.д.?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.02.2006, 11:47 
Заслуженный участник


13/12/05
4517
Такие \lambda должны быть начальными порядковыми числами (т.е. наименьшими среди всех порядковых чисел данной мощности)
\lambda = \omega_\alpha для некоторого порядкового числа \alpha , более того должно быть выполнено довольно странное соотношение
\omega_\alpha=\omega_{\omega_\alpha} , а это уже напоминает парадокс.
Может имеет смысл число \omega_{\omega_{\omega_{...}}}?
добавлено
Короче, всё сводится к тому, существует ли порядковое число \alpha такое, что
\alpha=\omega_\alpha

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.02.2006, 17:21 


04/10/05
272
ВМиК МГУ
В принципе, такой ординал можно построить следующим образом:
A_0=\omega,
A_{n+1}=\text{минимальный ординал мощности }\aleph_{A_n},
\lambda=\sup A_n.
Тогда для любого n: |A_{n+1}|=\aleph_{A_n},
\aleph_{\lambda}=\sup \aleph_{A_n}=\sup |A_{n+1}|=|\lambda|.
Такое построение можно корректно провести с помощью аксиомы подстановки.
Но чему именно равен этот ординал и какую он имеет мощность, в ZFC определить невозможно. Может быть, континуум...

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.02.2006, 18:32 


08/02/06
35
а есль ли что нибудь мощнее $\omega_{\omega_{._.}}$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.02.2006, 19:47 


04/10/05
272
ВМиК МГУ
В принципе, можно A_0 взять абсолютно любым (например, мощности 2^{\omega_{\omega_{\ldots}}}), поэтому удовлетворяющий условию ординал может быть сколь угодно большой мощности.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.02.2006, 20:09 


08/02/06
35
а как тогда будет обозначатся его мощность?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.02.2006, 20:14 


04/10/05
272
ВМиК МГУ
ХЗ

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.02.2006, 20:52 
Заслуженный участник


13/12/05
4517
маткиб писал(а):
В принципе, такой ординал можно построить следующим образом:
A_0=\omega,
A_{n+1}=\text{минимальный ординал мощности }\aleph_{A_n},
\lambda=\sup A_n.
Тогда для любого n: |A_{n+1}|=\aleph_{A_n},
\aleph_{\lambda}=\sup \aleph_{A_n}=\sup |A_{n+1}|=|\lambda|.
Такое построение можно корректно провести с помощью аксиомы подстановки.
Но чему именно равен этот ординал и какую он имеет мощность, в ZFC определить невозможно. Может быть, континуум...


Может всё это и так, надо подумать :?
Обьясню, откуда возник вопрос.
Кардинал называется регулярным, если он не может быть представлен в виде суммы меньшего числа меньших мощностей. Все алефы вида \aleph_{\alpha+1} -регулярные. В книге Хаусдорф "Теория множеств" написано, что неизвестно, существуют ли регулярные алефы, индексы которых - предельные порядковые числа. В книге Александров "Введение в теорию множеств и общую топологию" по поводу этого написано, что мощность индекса таких алефов должна быть равна им самим ( и это действительно нетрудно видеть).
Прикол в том, что мощность построенного нами ординала \omega_{\omega_{\omega_{...}}} не является регулярной! В частности она не континуум.
P.S. Что-то я сомневаюсь, что \lambda = \omega_\lambda
(\omega_\lambda я обозначаю наименьший ординал мощности \aleph_\lambda)
добавлено
Всё правильно! И |\lambda|=\aleph_\lambda и \lambda=\omega_\lambda! :D
Не зря Хаусдорф написал, что такие мощности должны быть "ошеломляюще огромны".
yvanko, мы можем обозначить только счётное число обьектов :) , а мощностей и ординалов ОЧЕНЬ МНОГО :D

 Профиль  
                  
 
 почему континуум регулярен?
Сообщение22.02.2006, 22:34 


04/10/05
272
ВМиК МГУ
Не могу понять, почему континуум регулярен и почему \lambda ему не равно. Не дадите ссылочку или доказательство? Видел только более слабое утверждение, что 2^X не может быть представлено в виде суммы \leq X меньших мощностей. В частности, континуум не может быть представлен в виде счетной суммы меньших мощностей.
Или может быть эти утверждения независимы с ZFC?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.02.2006, 23:11 


04/10/05
272
ВМиК МГУ
Точно, \omega_{\omega_{\ldots}} представим в виде счетной суммы меньших мощностей, поэтому континууму не равен:)
Тем не менее, вопрос о регулярности континуума остаётся.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.02.2006, 23:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
маткиб писал(а):
Точно, \omega_{\omega_{\ldots}} представим в виде счетной суммы меньших мощностей, поэтому континууму не равен:)
Тем не менее, вопрос о регулярности континуума остаётся.


Регулярность континуума недоказуема в ZFC. Но при дополнительных предположениях типа континуум-гипотезы или аксиомы Мартина континуум регулярен.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение23.02.2006, 00:33 


04/10/05
272
ВМиК МГУ
Спасибо.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group