2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Два соленоидальных векторных поля
Сообщение22.07.2016, 15:15 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
Два гладких линейно-независимых соленоидальных векторных поля на $\mathbb{R}^3$ коммутируют между собой.
Докажите, что эти поля интегрируются в квадратурах.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два соленоидальных векторных поля
Сообщение23.07.2016, 02:47 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
В справочнике Корна по математике (стр.172) есть формула (с точностью до обозначения векторных полей)
$\nabla\times(\mathbf U\times\mathbf V)=(\mathbf V\cdot\nabla)\mathbf U-(\mathbf U\cdot\nabla)\mathbf V+\mathbf U(\nabla\cdot\mathbf V)-\mathbf V(\nabla\cdot\mathbf U)$,
или
$\operatorname{rot}(\mathbf U\times\mathbf V)=-[\mathbf U, \mathbf V]+\mathbf U\operatorname{div}\mathbf V-\mathbf V \operatorname{div}\mathbf U$,
где $[,]$ коммутатор, а $\times$ векторное произведение.
Раз поля соленоидальные и коммутируют, правая часть равна нулю, тогда
$\operatorname{rot}(\mathbf U\times\mathbf V)=0$
Значит, $\mathbf U\times\mathbf V=\operatorname{grad}\varphi$, где $\varphi$ — некоторая скалярная функция. Имеем
$\mathbf U\varphi=\mathbf U\cdot\operatorname{grad}\varphi=\mathbf U\cdot(\mathbf U\times\mathbf V)=0$,
где самое левое $\mathbf U$ понимается как оператор дифференцирования. Аналогично $\mathbf V\varphi=0$.
Так что один первый интеграл $\varphi$ у нас есть. Интересно, что он один и тот же для обоих полей.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два соленоидальных векторных поля
Сообщение23.07.2016, 10:15 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
svv в сообщении #1139597 писал(а):
он один и тот же для обоих полей

А интегрируемость распределения, порожденного полями, случайно, не следует из т. Фробениуса?

 Профиль  
                  
 
 Re: Два соленоидальных векторных поля
Сообщение23.07.2016, 12:11 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
svv, один первый интеграл найден верно. Остается сделать еще один шаг.
DeBill, распределение, конечно, интегрируемо. Но из этого ответ в задаче еще не следует.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два соленоидальных векторных поля
Сообщение23.07.2016, 14:22 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
scwec
1. Это DeBill просто спрашивал, чему я удивляюсь. Поля же коммутируют, как при этом может быть иначе.
2. Если Вы намекаете на множитель Якоби, я про это ничего не знаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два соленоидальных векторных поля
Сообщение23.07.2016, 17:26 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
svv, множитель Якоби не имелся в виду.
Дальнейшая интеграция ведется на двумерных поверхностях уровня найденного первого интеграла $\varphi=c$.
Ограничения полей $U=\mathbf{U}|_{\varphi=c},V=\mathbf{V}|_{\varphi=c}$ коммутируют и интегрируются в квадратурах на $\varphi=c$.
Интегрирование выглядит так: вычисляются две 1-формы $\omega_U, \omega_V$ на $\varphi=c$ дуальные к $U,V$.
Они являются замкнутыми по причине $[U,V]=0$, сл-но в любой односвязной области поверхности уровня $\varphi=c$ являются точными.
$\omega_U=dF_U, \omega_V=dF_V$, т.о. найдены первые интегралы $F_U$ для $V$ и $F_V$ для $U$.
Использованы только алгебраические операции и интегрирование - (вычисление ограничений $U,V$;
взятие обратной матрицы для 2-матрицы, составленной из компонент $U,V$ при нахождении дуальных форм; взятия интегралов от дуальных форм).
Интегрируемость в квадратурах носит локальный характер.
Cуществование глобальных первых интегралов упирается в топологические характеристики поверхности уровня $\varphi=c$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два соленоидальных векторных поля
Сообщение23.07.2016, 19:35 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Да, интересно и красиво.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два соленоидальных векторных поля
Сообщение23.07.2016, 22:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Я правильно понимаю, что это повторяется и повторяется по всем размерностям до конца? (И, что начинать можно в $\mathbb{R}^n$?)

 Профиль  
                  
 
 Re: Два соленоидальных векторных поля
Сообщение23.07.2016, 22:58 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Ставя задачу в $\mathbb R^n$, Вы зададите не два, а $n-1$ векторных полей?

 Профиль  
                  
 
 Re: Два соленоидальных векторных поля
Сообщение24.07.2016, 10:33 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
Речь идет, видимо, о том, как все это выглядит в случае $\mathbb{R}^n$.
Справедливо следующее утверждение:
пусть на $\mathbb{R}^n$ заданы $n-1$ линейно независимых гладких векторных полей $X_1,X_2,...X_{n-1}$,
коммутирующих между собой и существует n-форма $\Omega$ такая, что производные Ли $L_{X_i}\Omega=0$.
Тогда все $X_i$ интегрируются в квадратурах.
Предлагается это доказать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два соленоидальных векторных поля
Сообщение25.07.2016, 14:36 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Введём 1-форму
$\alpha=\iota_{X_{n-1}}\ldots\iota_{X_{1}}\Omega$

Докажем, что форма $\alpha$ замкнута, по индукции. Будем использовать тождества:
$\begin{array}{ll}\mathcal L_X \omega=\iota_X d\omega+d(\iota_X\omega)&(1)\\
\mathcal L_X\iota_Y\omega-\iota_Y\mathcal L_X\omega=\iota_{[X, Y]}\omega&(2)\end{array}$
$(1)$ — тождество Картана, $(2)$ — Frankel, The Geometry of Physics, Theorem 4.24.
Далее $X, Y, Z...$ — произвольные векторные поля из множества заданных $X_1,\ldots,X_{n-1}$ (чтобы не напрягать глаза, пытаясь разглядеть, какой там индекс у $\mathcal L_{X_i}$).

База.
$d\Omega=0$, так как $\Omega$ максимальной степени.
$d(\iota_X \Omega)=\mathcal L_X \Omega-\iota_X d\Omega=0$, учитывая $(1)$ и $\mathcal L_{X}\Omega=0$.

Шаг.
Пусть $\omega$ (маленькое) — дифференциальная форма произвольной степени.
Из $(2)$ с учётом $[X, Y]=0$:
$\mathcal L_X\iota_Y\omega=\iota_Y\mathcal L_X\omega$
Тогда, используя $(1)$:
$\iota_X d(\iota_Y\omega)+d(\iota_X\iota_Y\omega)=\iota_Y\iota_X d\omega+\iota_Y d(\iota_X\omega)$
Значит, если $d\omega=0$ и $d(\iota_X\omega)=0$, то $d(\iota_X\iota_Y\omega)=0$.

Рассуждая по индукции, получим $d(\iota_X\iota_Y\ldots\iota_Z\Omega)=0$. Следовательно,
$d\alpha=d(\iota_{X_{n-1}}\ldots\iota_{X_{1}}\Omega)=0$

В односвязной области отсюда получим $\alpha=df$, где $f$ — скалярная функция. Имеем
$X_k f=\iota_{X_k}df=\iota_{X_k}\alpha=\iota_{X_k}\iota_{X_{n-1}}\ldots\iota_{X_{1}}\Omega=0$,
так как $X_k$ обязательно совпадает с каким-то из полей $X_1,\ldots,X_{n-1}$.
Итак, $f$ является первым интегралом для любого $X_k$.

Ну, а дальше почти дословно переписывается доказательство scwec, только $2$ заменяем на $n-1$. Рассматриваем гиперповерхность $f=c$. Векторные поля $X_k$ касательны к ней. Вводим на гиперповерхности набор 1-форм $\omega^i$, дуальных полям $X_k$, т.е. таких, что $\omega^i(X_k)=\delta^i_k$. Имеем для любых $X_k, X_\ell$ из нашего набора:
$d\omega^i(X_k, X_\ell)=X_k(\omega^i(X_\ell))-X_\ell(\omega^i(X_k))-\omega^i([X_k, X_\ell])=0$
Отсюда $d\omega^i=0$, поскольку поля $X_k$ в каждой точке гиперповерхности образуют базис. В односвязной области гиперповерхности $\omega^i=d f^i$. Наконец,
$X_k f^i=\omega^i(X_k)=\delta^i_k=0$ при $i\neq k$
Это означает, что у каждого векторного поля $X_k$ есть ещё $n-2$ первых интегралов $f^i$, где $i\neq k$ (помимо найденного раньше $f$).

 Профиль  
                  
 
 Re: Два соленоидальных векторных поля
Сообщение25.07.2016, 18:12 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
svv
Всё отлично. Именно так это и доказывается.
Два замечания.
1.Наверное, надо было сказать, что общий первый интеграл $f\ne\operatorname{const}$, поскольку все $X_i$ независимы.
2.Вторую часть доказательства можно построить и по другому: сослаться на теорему Ли об интегрируемости векторного поля, допускающего разрешимую алгебру Ли векторных полей.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два соленоидальных векторных поля
Сообщение25.07.2016, 20:56 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Спасибо, scwec.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group