Изоморфизм групп

[Gotoxy]

Имеется две конечные группы с одинаковым количеством элементов. Их порождающие множества равномощны. Можно ли отсюда сделать вывод, что группы изоморфны?

Для циклических групп это очевидно, а в общем случае не могу сообразить.

Спасибо.

[lek]

Gotoxy в сообщении #1134168 писал(а):

Имеется две конечные группы с одинаковым количеством элементов. Их порождающие множества равномощны. Можно ли отсюда сделать вывод, что группы изоморфны?

Нет. У них может быть разный генетический код (набор определяющих соотношений). Например, этим условиям удовлетворяют группы тетраэдра и диэдра порядка 12 (с порождающими $a$ и $b$). Но они неизоморфны, поскольку $a^3=b^2=(ab)^2=1$ для первой и $a^6=b^2=(ab)^2=1$ для второй.

[VAL]

Gotoxy в сообщении #1134168 писал(а):

Имеется две конечные группы с одинаковым количеством элементов. Их порождающие множества равномощны. Можно ли отсюда сделать вывод, что группы изоморфны?

Для циклических групп это очевидно, а в общем случае не могу сообразить.

К ответу lek'а добавлю, что это неверно уже для абелевых групп.
Например, $\mathbb Z_8 \oplus \mathbb Z_2$ и $\mathbb Z_4 \oplus \mathbb Z_4$ не изоморфны.

[Gotoxy]

Большое спасибо!

[madschumacher]

А если две группы (не Абелевы) имеют один и тот же порядок и одинаковое разбиение на классы сопряженных элементов (одинаковое сочетание число классов с определенным количеством элементов), то можно ли тут что-то сказать?

И второй вопрос: я где-то слышал, что в общем случае задача об изоморфизме 2х групп является алгоритмически неразрешимой задачей. Так ли это, и если да, то на что можно при этом сослаться?

[Brukvalub]

madschumacher в сообщении #1134570 писал(а):

И второй вопрос: я где-то слышал, что в общем случае задача об изоморфизме 2х групп является алгоритмически неразрешимой задачей. Так ли это, и если да, то на что можно при этом сослаться?

Почитайте, например, здесь.

[madschumacher]

Спасибо, самое то

[lek]

madschumacher в сообщении #1134570 писал(а):

А если две группы (не Абелевы) имеют один и тот же порядок и одинаковое разбиение на классы сопряженных элементов (одинаковое сочетание число классов с определенным количеством элементов), то можно ли тут что-то сказать?

Ничего определенного. Например, прямое произведения фиксированной неабелевой группы с произвольной абелевой порядка $n$.

[madschumacher]

Спасибо большое. Такое и подозревал...