Максимум функции ( Из ДВИ по математике МГУ 2011 г.)

[stedent076]

Найти максимум функции:
$f(x)=\dfrac{10^x}{25^{x-1}+10^x+4^{x+1}}$
Решение:
$f(x)=\dfrac{1}{\frac{2}{5}\cdot((\frac{5}{2})^x\cdot\frac{1}{10}+10\cdot(\frac{5}{2})^x)+1}\leqslant\dfrac{1}{\frac{4}{5}+1}=\dfrac{5}{9}$
Мне бы хотелось узнать, как можно решить это через выделение полного квадрата

[demolishka]

Выделите в знаменателе полный квадрат. А суммы или разности --- сами догадайтесь

[stedent076]

demolishka
я пробовал – не получилось

[demolishka]

stedent076, ну так напишите, что же у Вас получилось/не получилось.

[stedent076]

demolishka
знаменатель:
$5^{2(x-1)}+2\cdot 2^{x-1}\cdot 5^x+2^{2(x+1)}$

[Pphantom]

Можно действовать более тупо. Ну, например, обозначить как-то $(5/2)^x$ и учесть, что в стандартную школьную программу (знание которой, по идее, считается обязательным для поступающих в МГУ на соответствующие специальности) входят основы дифференциального исчисления.

[demolishka]

stedent076 в сообщении #1133177 писал(а):

знаменатель:
$5^{2(x-1)}+2\cdot 2^{x-1}\cdot 5^x+2^{2(x+1)}$

Ну вот Вам нужен вид $(a+b)^2+c$ или $(a-b)^2+c$ (уже на этом этапе можете ответить какой именно из этих видов нужен, чтобы не искать оба). Поищите такие $a,b$ и $c$.

[stedent076]

demolishka
Нужно найти такое $c$, чтобы $2\cdot2^{x-1}\cdot5^x+c=2\cdot2^{x+1}\cdot5^{x-1}$
$c=2(2^{x+1}\cdot5^{x-1} -2^{x-1}\cdot5^x)$

-- 21.06.2016, 18:27 --

Pphantom
Использовать лемму Ферма?

[Pphantom]

stedent076 в сообщении #1133184 писал(а):

Использовать лемму Ферма?

Угу.

[demolishka]

stedent076, Вы зря игнорируете мой вопрос по поводу того, какой квадрат нам нужен. И подумайте, что с этим делать далее (у $c$ будет очень хороший вид, если еще раз взглянуть на числитель).

[stedent076]

demolishka
Если вид $(a-b)^2+c$, то $c=-2(2^{x-1}\cdot5^x+2^{x+1}\cdot 5^{x-1})= 10^x+2^{x+1}\cdot5^{x-1}$
А что дальше? Делить на $10^x$?

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.