2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Рекуррентная формула для членов последовательности Фарея
Сообщение17.06.2016, 12:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


19/12/10
1546
maximk в сообщении #1132141 писал(а):
Нужна какая-то явная зависимость, скажем, вида $f_k=g(f_{k-1}, f_{k+1})$.
maximk в сообщении #1132141 писал(а):
Если найти способ, как выразить $b/d$ (при обозначениях выше), то этого окажется достаточно.

Вот и выразите дроби как вам уже предлагалось:
INGELRII в сообщении #1132185 писал(а):
в виде пары числитель-знаменатель

Тогда первыми двумя членами ряда Фарея $N$-го порядка будут $f_0=(0,1);f_1=(1,N).$

Пусть двухместная функция $c(x,y)$ любым двум целым числам $x,y$ ставит в соответствие упорядоченную пару $(x,y).$ И пусть функция $l(X)$ ставит в соответствие упорядоченной паре $X$ её левый элемент, то есть $l((x,y))=x,$ а функция $r(X)$ ставит в соответствие упорядоченной паре $X$ её правый элемент, то есть $r((x,y))=y.$

Используя эти функции и, приведённые выше, формулы, вы сможете определить функцию $g(X,Y)$ ставящую в соответствие двум упорядоченным парам $X,Y$ третью упорядоченную пару $Z,$ так чтобы выполнялось рекуррентное соотношение:$$f_{n+1}=g(f_n,f_{n-1})$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Рекуррентная формула для членов последовательности Фарея
Сообщение17.06.2016, 12:11 
Заслуженный участник


16/02/13
4105
Владивосток
INGELRII в сообщении #1132299 писал(а):
Если нам даны медианта двух чисел и одно из этих чисел, то второе восстановить однозначно нельзя
Даже если речь идёт о соседних дробях Фарея?

 Профиль  
                  
 
 Re: Рекуррентная формула для членов последовательности Фарея
Сообщение17.06.2016, 12:32 
Аватара пользователя


11/08/11
1135
iifat
Ну если так... в-в-возможно. Лень думать, я только что пообедал :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Рекуррентная формула для членов последовательности Фарея
Сообщение17.06.2016, 12:46 
Заслуженный участник


16/02/13
4105
Владивосток
Аналогично. Википедия утверждает, что да и даже алгоритм приводит. Давайте ей верить :wink: пока не проголодаемся.

 Профиль  
                  
 
 Re: Рекуррентная формула для членов последовательности Фарея
Сообщение17.06.2016, 15:02 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
А давайте запретим надругательство над Фареем, и будем честно выписывать все члены, а не только те, у которых знаменатель не боле $n$. Тогда :
Стартуем со строчки $F_0$, состоящей из дробей $F_{0,0} = \frac{0}{1}, F_{0,1}=\frac{1}{1}$.
В $n$-й строчке $F_n$ будут стоять дроби $F_{n,k}$ с номерами $k= 0,1,..., 2^n$
При этом: $F_{n,2k} = F_{n-1,k}$, $F_{n,2k-1}$ получается "медетированием" из своих соседей. Теперь это можно расписать порознь для их числителей и знаменателей. Вот и будут реккурентные формулы - правда, выражающие $F_n$ через $F_{n-1}$. И почему то казится, что можно соорудить и формулы для прямого доступа (сразу по $n$ найти числитель и знаменатель ) - используя двоичную запись числа $k$....
Вики-Фарея тогда можно получить кастрированием ФАРЕЯ: надо просто удалить те члены, знаменатели которых слишком большие....

 Профиль  
                  
 
 Re: Рекуррентная формула для членов последовательности Фарея
Сообщение17.06.2016, 17:56 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
maximk в сообщении #1132272 писал(а):
чтобы применить производящие функции и найти формулу общего n-го члена последовательности $F_n$
А зачем?

 Профиль  
                  
 
 Re: Рекуррентная формула для членов последовательности Фарея
Сообщение17.06.2016, 18:46 
Аватара пользователя


04/06/14
623
arseniiv, интерес.

 Профиль  
                  
 
 Re: Рекуррентная формула для членов последовательности Фарея
Сообщение17.06.2016, 19:00 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Ну, тогда добавить нечего. Если бы была практическая надобность в генерации всех дробей данной $F_n$, то или дерево, или рекуррентная формула одинаково хороши (вторая особенно хороша, если в каждый момент времени нужна только одна-две дроби, а не сразу все). А так — удачи с $\lfloor\hphantom{a}\rfloor$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Рекуррентная формула для членов последовательности Фарея
Сообщение18.06.2016, 12:35 
Аватара пользователя


04/06/14
623
arseniiv, спасибо. А вообще эти последовательности представляют интерес еще и потому, что гипотеза Римана допускает переформулировку в терминах этих последовательностей (см. например статью Стечкина об этих последовательностях

(Оффтоп)

в поиске достаточно вбить "Стечкин Фарея"
). Быть может для исследования одного из тех неравенств будет полезно получить общую формулу $\omega_\nu$ (в терминах той статьи).

(Оффтоп)

Моя выпускная работа посвящена некоторым свойствам $F_n$, решил продолжить исследовать. Подумал, что проще всего будет получить общую формулу именно на этом пути. Неплохо бы рассмотреть другие варианты. В задачнике Гашкова, Чубарикова по теории чисел в начале есть раздел по этим последовательностям, если кому интересно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 24 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group