Фокусы при выводе уравнения Мещерского

[SomePupil]

Готовимся с учителем к ЕГЭ по физике.
Сегодня повторяли ЗСИ. Конец урока был посвящен уравнению Мещерского. Условия были таковы.

Есть прямолинейно движущаяся ракета, на которую не действуют внешние силы. Топливо выходит из сопла со скоростью $\vec u$ относительно ракеты. Начальная скорость ракеты $\vec v_0$ , расход топлива $\mu = - \dot m$.

Пусть с начала движения прошло время $\Delta t$. Пишем ЗСИ для ракеты:

$$M\vec v_0 = (M - \mu \Delta t)(\vec v_0 + \Delta \vec v) + (\mu \Delta t)(\vec v_0 + \vec u)$$

После которого элементарными преобразованиями получаем нужное $M\frac{d\vec v}{dt} =-\mu\cdot \vec u$ .

Обратите внимание, что:
1. Не учитывается тот факт, что скорость выбрасываемых газов относительно внешней ИСО (а не ракеты) меняется вместе со скоростью ракеты. То есть вместо $\vec v_0 + \vec u$ порции газа имеют скорость $\vec v + \vec u$ . Когда ракета ускоряется, скорость выхода газов становится все меньше и меньше (относительно внешней ИСО).

2. Предполагается, что газы после выхода из ракеты идут по прямой, не меняя своей скорости.

Учитель смог разъяснить только второй пункт: взаимодействия порций газов между собой никак не влияют на движение самой ракеты, поэтому эти взаимодействия можно мысленно"выключить".

Что касается первого пункта, то мой учитель сказал что-то вроде "изменением скорости газов можно пренебречь... это не принципиально.... масса газов мала... импульс газов меняется мало" В общем, внятного ответа он не дал.

После уроков я, естественно, принялся гуглить. Вбивал "уравнение Мещерского", "реактивная сила", "реактивная тяга", "reactive force", "reaction physics", читал вики, wiki, школьные учебники, даже брошюрку MIT OCW $-$ везде только это рукомахательство (у Ландавшица Мещерского не нашёл).

Кроме того, я искал по форуму. Нашёл вот эти топики:
topic60319.html
topic92529.html
topic53755.html
post993437.html

В последнем топике есть такое объяснение:

Munin в сообщении #993469 писал(а):

Но это не так. Представьте себе ракету на старте. Она включает двигатели, и газ (рабочее тело) несётся назад со скоростью, скажем, 4 км/сек. Постепенно ракета разгоняется, и набирает скорость 1 км/сек. Теперь скорость газа уже 3 км/сек (с точки зрения стартовой площадки). Потом ракета разгоняется до 2 км/сек, и скорость газа становится уже 2 км/сек. Постепенно дойдёт до того, что выброшенный двигателями газ будет догонять ракету.

В итоге, вся масса газа движется с разной скоростью. С какой? Этого точно заранее сказать нельзя. Но можно сказать, что в каждый короткий момент времени скорость ракеты не очень меняется, и поэтому будет верно уравнение типа того, которое вы записали. Но - именно в каждый короткий промежуток времени, от $t$ до $t+dt,$ то есть:

$$M(t)\vec{v}(t)=M(t+dt)\vec{v}(t+dt)+\mu\,dt\,(\vec{u}+\vec{v}(t+dt)).$$

То, что написано тут во втором абзаце $-$ учитель тоже такое говорил (правда, в конце урока, после нескольких различных попыток объяснения). Но это всё равно некорректно: скорость газов принимается равной $\vec u + \vec v(t + dt)$, неточность всё равно есть. Можно, конечно, апеллировать к малости $dt$, но тут получается, что изменение скорости ракеты мы учитываем, а изменение скорости газов $-$ нет.

Можете разъяснить корректно?

P. S. Создал тему в "Вопросах преподавания", так как предмет обсуждения (объяснение стандартного материала) больше соответствует целям педагогики.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Вопросы преподавания» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»
Причина переноса: это не вопрос педагогики (по крайней мере до тех пор, пока все участники обсуждения не будут иметь представление о том, как решается эта задача).

[Sender]

SomePupil в сообщении #1131708 писал(а):

$$M\vec v_0 = (M - \mu \Delta t)(\vec v_0 + \Delta \vec v) + (\mu \Delta t)(\vec v_0 + \vec u)$$

Ну, более строго это уравнение можно записать в виде

$$M\vec v_0 = (M - \mu \Delta t)(\vec v_0 + \Delta \vec v) + (\mu \Delta t)(\vec v_0 + \vec v_1+ \vec u),$$

где $|\vec v_1|=O(|\Delta \vec v|)=O(\Delta t).$ Теперь стало понятнее или наоборот?

[SomePupil]

Зависимость $v(t)$ изначально неизвестна, поэтому неизвестна и её асимптотика.

Дело не в математической строгости $-$ дело в физической строгости.

[Sender]

SomePupil в сообщении #1131721 писал(а):

Зависимость $v(t)$ изначально неизвестна, поэтому неизвестна и её асимптотика.

Для того, что я написал, достаточно её непрерывности. Хотя как знать, может, ракета иногда движется скачками...

[Slav-27]

SomePupil в сообщении #1131708 писал(а):

Пишем ЗСИ для ракеты:

$$M\vec v_0 = (M - \mu \Delta t)(\vec v_0 + \Delta \vec v) + (\mu \Delta t)(\vec v_0 + \vec u)$$

Из этой формулы не получается то, что вы ниже написали, а только кусочек.

Слева импульс ракеты на старте. Правая часть имеет какое-либо отношение к действительности, вообще говоря, только при малых $\Delta t$ (таких, что можно пренебрегать $\Delta t^2$). То есть всё ваше рассмотрение происходит только в маленькой окрестности момента старта.

Поэтому вы получаете не

SomePupil в сообщении #1131708 писал(а):

$M\frac{d\vec v}{dt} =-\mu\cdot \vec u$

а $M(0)\dfrac{d\vec v}{dt}(0) =-\mu\cdot \vec u$. (Здесь я обозначил через $M(0)$ массу при старте, а через $\dfrac{d\vec v}{dt}(0)$ -- ускорение при старте, $\mu$ и $\vec u$ я считаю постоянными).

Чтобы получить формулу для любого момента времени, рассматривайте массу в момент $t$ как функцию $M(t)$ и скорость как функцию $v(t)$: тогда ваш закон сохранения импульса будет такой: $\vec p_{\text{ракеты}}(t)=\vec p_{\text{ракеты}}(t+\Delta t)+\vec p_{\text{топлива}}(t+\Delta t)$, где в правой части равенства второй член учитывает топливо, выброшенное в промежутке времени от $t$ до $\Delta t$. То есть так:

$$M(t) \vec v(t) = (M(t) + \Delta M(t))(\vec v(t) + \Delta v(t) ) - \Delta M(t) (\vec v(t) + \vec u).$$

($\Delta M$ -- масса топлива, выброшенного в промежутке времени от $t$ до $\Delta t$, взятая со знаком $-$, то есть $\Delta M(t) = M(t+\Delta t)-M(t)$).

Дальше замечаем, что $\Delta M(t)=-\mu \Delta t$ с точностью до членов 1 порядка по $\Delta t$, и считаем.

[SomePupil]

Slav-27 писал(а):

Слева импульс ракеты на старте. Правая часть имеет какое-либо отношение к действительности, вообще говоря, только при малых $\Delta t$ (таких, что можно пренебрегать $\Delta t^2$). То есть всё ваше рассмотрение происходит только в маленькой окрестности момента старта.

Да, это правда. Вот новое, общее уравнение

$$M(t) \vec v(t) = (M(t) - \mu\Delta t)(\vec v(t) + \Delta v(t) ) + \mu\Delta t(\vec v(t) + \vec u).$$

Slav-27, это я у Вас списал.

А по поводу вот этого слагаемого: $\mu\Delta t(\vec v(t) + \vec u) -$ что можете сказать? Это же запись того, что газ массой $\mu\Delta t$ имеет скорость $\vec v(t) + \vec u$. Ай-яй-яй, нехорошо.

[Slav-27]

А какую вы хотите?

-- 15.06.2016, 14:20 --

Со временем она меняется, как вы и хотели.

[SomePupil]

Sender писал(а):

Для того, что я написал, достаточно её непрерывности.

Посмотрите:

$$(\mu \Delta t)(\vec v_0 + \vec v_1+ \vec u),$$

Это импульс газа массой $\mu \Delta t$ и скоростью $\vec v_0 + \vec v_1+ \vec u$ . Неочевидно, что суммарный импульс отработавших газов будет равен этой величине. Тут пахнет теоремой о среднем, а не непрерывностью.

[Munin]

Поскольку меня цитируют, мне и надо отдуваться.

Тут у вас путаница между двумя разными изменениями: за время от начала полёта $t-0,$ и за малый промежуток времени $\Delta t$ (конечно, $\Delta t$ - это не время с начала движения). Изменение скорости газов за первый промежуток - большое. А за второй - малое. Им можно пренебречь.

Если мы захотим написать абсолютно точную формулу, то вынуждены будем априорно сказать только вот что:

$$M(t)v(t)=M(t+\Delta t)v(t+\Delta t)+P_\text{газа}$$

(я взял проекцию своей формулы на ось, вдоль которой движется ракета, для простоты). Здесь $P_\text{газа}$ - вещь неизвестная, ведь газ выходит с разными скоростями, даже за малый промежуток времени $\Delta t.$ Но мы знаем, что скорость газа в начале промежутка времени была $v(t)-u$ (мы берём в проекции, отсюда минус), а в конце промежутка времени - $v(t+\Delta t)-u.$ И не только это: мы знаем, что скорость газа всё время была в этих пределах, а не выходила из этого промежутка скорости. Таким образом, мы можем записать

$$\mu\,\Delta t\,(v(t)-u)\leqslant P_\text{газа}\leqslant\mu\,\Delta t\,(v(t+\Delta t)-u).$$

Выделим поправку к скорости, и запишем:

$$\mu\,\Delta t\,(v(t)-u)\leqslant P_\text{газа}\leqslant\mu\,\Delta t\,(v(t)+\Delta v-u).$$

Теперь мы видим, что $P_\text{газа}$ состоит из двух слагаемых:

$$P_\text{газа}=\mu\,\Delta t\,(v(t)-u)+\mu\,\Delta t\,\delta,$$

где $0\leqslant\delta\leqslant\Delta v$ - некоторая величина размерности скорости. Эти два слагаемых - разные. Первое из них - малое (потому что умножено на $\Delta t$), а второе - "дважды малое", потому что умножено не только на $\Delta t,$ но и ещё на малый множитель $\delta.$ То есть, второе слагаемое - малое даже по сравнению с первым, малое более высокого порядка. Это видно, если мы разделим всё выражение на $\Delta t$:

$$\dfrac{P_\text{газа}}{\Delta t}=\mu\,(v(t)-u)+\mu\,\delta$$

(заметим, что в левой части у нас сейчас средняя сила за малый промежуток времени $\Delta t$). Теперь идея в том, что когда мы переходим к пределу $\Delta t\to 0$ для исходного уравнения импульсов, то это слагаемое исчезнет быстрее, чем другие неисчезающие.

Проделаем аналогичные действия с остальной частью уравнения импульсов:

$$\begin{aligned}&M(t)v(t)-M(t+\Delta t)v(t+\Delta t)=P_\text{газа}\\ \ldots&=M(t)v(t)-(M(t)-\mu\,\Delta t)(v(t)+\Delta v)=\\ &=M(t)v(t)-M(t)v(t)+\mu\,\Delta t\,v(t)-M(t)\,\Delta v+\mu\,\Delta t\,\Delta v=\\ &=\mu\,\Delta t\,v(t)-M(t)\,\Delta v+\mu\,\Delta t\,\Delta v.\end{aligned}$$

Теперь мы видим, что и здесь есть величины разных порядков малости: $\Delta v$ считаем того же порядка малости, что и $\Delta t,$ и тогда последнее слагаемое мало́ по сравнению с первыми двумя. И разделив на $\Delta t,$ имеем:

$$\mu v(t)-M(t)\,\dfrac{\Delta v}{\Delta t}+\mu\,\Delta v=\dfrac{P_\text{газа}}{\Delta t}=\mu\,(v(t)-u)+\mu\,\delta$$

$$-M(t)\,\dfrac{\Delta v}{\Delta t}+\underline{\mu\,\Delta v}=-\mu u+\underline{\mu\,\delta}.$$

Теперь наконец у нас по обе стороны знака равенства по два слагаемых: одно конечной величины, одно малое. И взяв предел $\Delta t\to 0,$ мы сохраним конечные слагаемые, а малые станут бесконечно малыми и уйдут:

$$\xrightarrow{\quad\Delta t\to 0\quad}\qquad-M(t)\,\dfrac{dv}{dt}=-\mu u.$$

Теперь, почему вы этого не нашли в физических книгах по уравнению Мещерского. Потому что это стандартная техника из математического анализа (за 1 курс вуза). Она не относится конкретно к этому уравнению, а применяется всегда при дифференцировании и при другой работе с бесконечно малыми. Она настолько привычна, что трудно даже вспомнить подробности обоснования. И книги по физике бывают двух типов:
- либо они написаны для читателя, который уже знает матанализ, и тогда достаточно просто сказать, что всё это стандартно;
- либо они написаны для школьника, который ещё не знает матанализа. И тогда приходится объяснять всё то же самое на нестрогом уровне (потому что нельзя превращать учебник физики в учебник матанализа).
И то и другое для вас выглядит "рукомахательством". Но хотя второе - рукомахательство на самом деле, про первое это сказать нельзя. Там используются вполне строгие понятия бесконечной малости, бесконечно малых разных порядков, и т. п., просто для них не даются определения и свойства - все эти вещи перечислены в другом учебнике, который уже прочитан.

-- 15.06.2016 13:27:54 --

Ох понаписали... Ну ладно, будут вопросы к моему тексту - отвечу.

[SomePupil]

Slav-27 писал(а):

Со временем она меняется, как вы и хотели.

Нет, в промежутке между $t$ и $t+dt$ она не меняется. Мы берём $v(t)$ и фиксируем её.

Sender, Slav-27 это очень хорошо, что Вы участвуете, но вопрос был в другом:

Я писал(а):

1. Не учитывается тот факт, что скорость выбрасываемых газов относительно внешней ИСО (а не ракеты) меняется вместе со скоростью ракеты.

Это, на самом деле, тонкий момент. Обычным добавлением "поправочных" слагаемых не обойтись.

[Slav-27]

SomePupil
Считайте, что газ выбрасывается дискретными порциями через промежутки времени $\Delta t$. Тогда уравнения будут правильными, при этом уменьшением $\Delta t$ можно добиться сколь угодно малой погрешности относительно истинного положения дел. Проблема в этом месте?

-- 15.06.2016, 14:39 --

Ну или аккуратно пишите неравенства, как Munin.

[SomePupil]

Ух, ты! Получил сразу же два прекрасных объяснения!
Первое $-$ от Munin, с помощью неравенств и применения "принципа двух милиционеров" (там неявно используется эта теорема).

Второе $-$ от забугорного textbook. Буквально только что рылся в ноуте, у меня там, оказывается, есть какие-то левые учебники (скачивал что попало). В одном из них есть очень конкретный вывод сабжа (что называется, "в лоб"). Полюбуйтесь (все величины спроецированы вдоль направления движения ракеты):

Douglas Gregory. Classical mechanics. писал(а):

...It remains to take account of the linear momentum of the ejected fuel. Consider the element of fuel that was ejected in the time interval $[t, t+dt]$. This has mass $(-\dot m(t))dt$ and its forward velocity at the instant of ejection was $v(t) - u.$ The linear momentum of this fuel element is therefore $(-\dot m(t))(v-u)dt$ and the total linear momentum of the fuel expended in the time interval $[0, t]$ is

$$-\int\limits_{0}^{t}\dot m(v-u)dt.$$

Linear momentum conservation for the system therefore requires that

$$m_0 v_0 = m(t) v(t)-\int\limits_{0}^{t}\dot m(v-u)dt,$$

which can be written in the form

$$\int\limits_{0}^{t}\left(\frac{d}{dt}(mv) - \dot m(v-u)\right) dt = 0.$$

Since this equality must hold for any choice of $t$ during the burn, it follows that the integrand must be zero, that is

$$\frac{d}{dt}(mv) - \dot m(v-u) = 0$$

This simplifies to give Rocket equation in free space

$$m\frac{dv}{dt} =(-\dot m)u$$

Спасибо Всем ответившим за участие!

P. S. Ну, теперь-то можно в "Вопросы преподавания", я полагаю? Кстати, интересно было бы собирать такие стандартные, но "скользкие" вещи с "рукомахательскими" доказательствами. Например, теорему Жордана и всё такое.

-- 15.06.2016, 15:22 --

Slav-27 писал(а):

Считайте, что газ выбрасывается дискретными порциями через промежутки времени $\Delta t$. Тогда уравнения будут правильными, при этом уменьшением $\Delta t$ можно добиться сколь угодно малой погрешности относительно истинного положения дел

Это завуалированное интегрирование. Да, это решает проблему.

[Munin]

Если вы знакомы с матанализом на уровне "двух милиционеров", то странно вообще было задавать этот вопрос. Всё решается совершенно стандартными средствами. И к уравнению Мещерского не имеет ни малейшего отношения!

И обсуждения в "Вопросах преподавания" абсолютно не заслуживает.

-- 15.06.2016 14:29:16 --

Да, я думал написать через интеграл, но это нечестно. Сначала надо написать дифур, а потом уже его интегрировать.

[SomePupil]

Munin писал(а):

Всё решается совершенно стандартными средствами.

Не совсем стандартными, по крайней мере, для меня.

Физики часто (да что там часто $-$ всегда) пользуются "малыми" величинами, подразумевая предельный переход и непрерывность. Но так, чтобы они неявно использовали "милиционеров" $-$ такого я ещё не встречал.

-- 15.06.2016, 15:55 --

Munin писал(а):

Да, я думал написать через интеграл, но это нечестно

Почему? Функция непрерывна на отрезке, следовательно, интегрируема.