2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Системы счисления
Сообщение11.06.2016, 15:53 


04/06/13
203
1) Сколько существует чисел в 14-ричной системе исчисления, которые имеют 3 значащие цифры и среди них есть различные?

Сначала, как я понимаю, нужно представить число в виде

$x = \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} a_k 14^k$, где $a_k$ — это целые числа, называемые ''цифрами'', удовлетворяющие неравенству $0 \leq a_k \leq 13$

Нам нужно, чтобы среди чисел $a_1,a_2,a_3$ нашлись хотя бы 2 различные.

Количество вариантов для первых трех цифр $13^3$.

Количество чисел, где первые три цифры одинаковые $13$.

Таким образом, количество чисел, где хотя бы 2 цифры совпадают $13^3-13=13\cdot 168$. Верно ли?

2) Сколько существует трехзначных чисел в 14-ричной системе счисления, таких что $a_1-a_3=a_2$.

Ясно, что $0 \leq a_k \leq 13$

$a_2=a_1-a_3$

Ясно, что $a_1\ge a_3$. Мне кажется, что нарисовав квадрат со стороной 13, мы получим количество вариантов, нас интересуют клетки квадрата над диагональю и на самой диагонали, количество которых можно посчитать так $13+12+11+..+1=12\cdot 13=156$

Правильно ли?

 Профиль  
                  
 
 Re: Системы счисления
Сообщение11.06.2016, 16:01 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
karandash_oleg в сообщении #1130792 писал(а):
Количество вариантов для первых трех цифр $13^3$.

Чуть-чуть не совсем.

 Профиль  
                  
 
 Re: Системы счисления
Сообщение11.06.2016, 16:10 


04/06/13
203
ewert в сообщении #1130795 писал(а):
karandash_oleg в сообщении #1130792 писал(а):
Количество вариантов для первых трех цифр $13^3$.

Чуть-чуть не совсем.

Имеется ввиду, что первая цифра не может быть нулем. Или может?

-- 11.06.2016, 16:36 --

Аааа, кажется понял, должно быть так:

Количество вариантов для первых трех цифр $14^3$.

Количество чисел, где первые три цифры одинаковые $14$.

Таким образом, количество чисел, где хотя бы 2 цифры совпадают $14^3-14=14\cdot 195$. Верно ли?

-- 11.06.2016, 16:38 --

Вторую задачу тоже исправляю:

2) Сколько существует трехзначных чисел в 14-ричной системе счисления, таких что $a_1-a_3=a_2$.

Ясно, что $0 \leq a_k \leq 13$

$a_2=a_1-a_3$

Ясно, что $a_1\ge a_3$. Мне кажется, что нарисовав квадрат со стороной 13, мы получим количество вариантов, нас интересуют клетки квадрата над диагональю и на самой диагонали, количество которых можно посчитать так $14+13+12+11+..+1=7\cdot 15=105$

Правильно ли?

 Профиль  
                  
 
 Re: Системы счисления
Сообщение11.06.2016, 18:49 


04/06/13
203

(Оффтоп)

Пока что перебираю варианты :D :
1) Я написал полную чушь или как-то очень криво свои мысли сформулировал
2) Все написано верно, потому комментировать нечего
3) Долго объяснять
4) Неинтересные задачи

 Профиль  
                  
 
 Re: Системы счисления
Сообщение11.06.2016, 19:31 
Заслуженный участник


20/08/14
11670
Россия, Москва
Чтобы число было трёхзначным, нужно чтобы первая цифра была не 0, остальные любые. Значит общее число трёхзначных чисел $13 \cdot 14 \cdot 14$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Системы счисления
Сообщение11.06.2016, 20:09 


04/06/13
203
Спасибо, тогда в 1 задаче будет $13 \cdot 14 \cdot 14-13$.

А значащие цифры это сыграло роль в том, что там будет не ноль, правильно ли понял?

Во второй задаче получается, что $a_1>a_3$, потому вариантов $13+12+11+...+1$.

Правильно ли я понял?

 Профиль  
                  
 
 Re: Системы счисления
Сообщение12.06.2016, 15:29 


11/06/16
191
неверно

 Профиль  
                  
 
 Re: Системы счисления
Сообщение12.06.2016, 15:41 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
PWT в сообщении #1130999 писал(а):
неверно
karandash_oleg в сообщении #1130870 писал(а):
$a_1>a_3$

 Профиль  
                  
 
 Re: Системы счисления
Сообщение12.06.2016, 15:58 


04/06/13
203
То есть вторая цифра может быть нулем, точно.

Cпасибо, тогда в 2 задаче будет $13+13+12+11+10+9+8+...+2+1$

Теперь правильно ли?

 Профиль  
                  
 
 Re: Системы счисления
Сообщение12.06.2016, 16:12 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Неверно в самом начале и в самом конце.

 Профиль  
                  
 
 Re: Системы счисления
Сообщение12.06.2016, 16:30 
Заслуженный участник


20/08/14
11670
Россия, Москва
karandash_oleg
По второй задаче.
Условие трёхзначности числа накладывает ограничение $a_1 > 0$. Таких всего: $a_1=1..13$.
Условие $a_1-a_3=a_2$ эквивалентно условию $a_1 \geqslant a_3$.
Ну а теперь считайте: для $a_1=1$ сколько разных $a_3$ допустимо? А для $a_1=2$? А для всех остальных $a_1=3..13$? Суммируйте и получайте ответ.

 Профиль  
                  
 
 Re: Системы счисления
Сообщение12.06.2016, 16:51 


04/06/13
203
Спасибо. А с первой задачей все ок?

Для $a_1=1$ будет два варианта, для $a_1=2$ три варианта,.... для $a_1=13$ будет $14$ вариантов.

Итого: $2+3+4+...+14$. Теперь верно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Системы счисления
Сообщение12.06.2016, 16:58 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Теперь да.

 Профиль  
                  
 
 Re: Системы счисления
Сообщение12.06.2016, 17:00 
Заслуженный участник


20/08/14
11670
Россия, Москва
karandash_oleg в сообщении #1130870 писал(а):
в 1 задаче будет $13 \cdot 14 \cdot 14-13$.
Да.
karandash_oleg в сообщении #1131014 писал(а):
Итого: $2+3+4+...+14$. Теперь верно?
Тоже да.

 Профиль  
                  
 
 Re: Системы счисления
Сообщение13.06.2016, 07:37 
Заслуженный участник


27/06/08
4062
Волгоград
Во второй задаче можно рассуждать так:
Рассмотрим все сочетания с повторениями из 14 по 2. Их будет $15\choose2$.
В каждом из сочетаний, кроме случая двух нулей, максимальных элемент сделаем первой цифрой, а оставшийся - третьей. Второй же цифрой будет их разность.
Ответ, разумеется, будет тот же.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: DariaRychenkova


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group