Очередная система с парметром

[stedent076]

При каких значениях параметра $a$ система

$$ \begin{cases} 3|x|+2|y|=12\\ x^2+y^2=a \end{cases} $$

имеет наибольшее число решений?
Даже не знаю, с чего тут начать... Второе уравнение - уравнение ок-ти в центром $(0;0)$ и радиусом $\sqrt{a}$. Чтобы ответить на вопрос задачи, нужно построить график (или область) первого уравнения и затем начать оценивать взаимное расположение окружности и области, в зависимости от параметра. Но я даже не представляю, как выглядит график первого уравнения....
Заранее благодарен за помощь!

[SomePupil]

Для первого уравнения: рассмотрите отдельно случаи положительных/отрицательных $x, y$, то есть четвертуйте плоскость и рассмотрите эти четверти по отдельности. Нарисуйте график решения (что при этом получается?)

[stedent076]

SomePupil
А по-другому никак? Это как-то слишком банально

[SomePupil]

Ну, тогда в уме решите, что ли...

[stedent076]

SomePupil
Ромб получается. Спасибо!

[Someone]

stedent076 в сообщении #1130009 писал(а):

SomePupil
А по-другому никак? Это как-то слишком банально

Ну, можно заметить, что система не изменяется при заменах $x\to-x$ или $y\to-y$. Поэтому достаточно рассмотреть случай $x\geqslant 0$ и $y\geqslant 0$.

P.S. А почему школьная задача по математике попала в физический раздел?

[SomePupil]

(Оффтоп)

Даа, с цитатами проблемы...

[Toucan]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[gefest_md]

Someone в сообщении #1130077 писал(а):

Поэтому достаточно рассмотреть случай $x\geqslant 0$ и $y\geqslant 0$

Я взял $x\geqslant 0$, $y\geqslant 0$ и $a$, и допустил, что $(x,y)$ - решение системы. Тогда из условия $D\geqslant 0$ получил $a\geqslant \frac{144}{13}$. Для $a>\frac{144}{13}$ решений два.

В Wolframalpha для $a>\frac{144}{13}$ показаны восемь решений, а для $a>>\frac{144}{13}$ система решений не имеет. Может надо рассмотреть все случаи?

[ewert]

gefest_md в сообщении #1130140 писал(а):

Может надо рассмотреть все случаи?

Зачем все? Очевидно, что восемь решений исчезнут,когда окружность пройдёт через ближние вершины ромба.

[Shadow]

gefest_md в сообщении #1130140 писал(а):

Тогда из условия $D\geqslant 0$

Кроме вещественные, корни должны быть и положителные. Мало того, для обеих корней другая переменная тоже должна быть положительной.
Тоесть, оба корня должны лежать в некотором интервале. От нуля до...Для этого один дискриминант недостаточен. И даже ненужен.

[Someone]

gefest_md в сообщении #1130140 писал(а):

Я взял $x\geqslant 0$, $y\geqslant 0$ и $a$, и допустил, что $(x,y)$ - решение системы. Тогда из условия $D\geqslant 0$ получил $a\geqslant \frac{144}{13}$. Для $a>\frac{144}{13}$ решений два.

В Wolframalpha
для $a>\frac{144}{13}$ показаны восемь решений, а для $a>>\frac{144}{13}$ система решений не имеет. Может надо рассмотреть все случаи?

Смысл моего предложения (стандартного для подобных случаев) состоит в том, что, если Вы нашли решение $(x,y)$ с $x\geqslant 0$ и $y\geqslant 0$, то $(-x,y)$, $(x,-y)$ и $(-x,-y)$ — тоже решения (не обязательно все различные).

[stedent076]

gefest_md
Извиняюсь за возможно глупый вопрос, но

gefest_md в сообщении #1130140 писал(а):

$D\geqslant 0$

это дискримминант какого уравнения? Вы складывали системы и рассматривали кв. уравнение относительно одной из переменных?

[gefest_md]

stedent076, выразил $y$ из первого уравнения, подставил его во второе, и получил кв. уравнение относительно $x$, при $x,y\geqslant 0$.

[stedent076]

gefest_md
Спасибо!