Сходимость в банаховом пространстве

[kp9r4d]

Пусть $B$ Банахово пространство и $x_i \in B$ - линейно независимая система векторов, а $\alpha_i \in \mathbb{C}$ такая что:

$$\|x_i\| = 1$$

$$\lim_{N \to \infty} \|\sum_{k=1}^N \alpha_k x_k\| = \lim_{N \to \infty} \sum_{k=1}^N \alpha_k = C < \infty$$

это правда, что $\sum_{k=1}^\infty \alpha_k x_k$ сходится?

[mihaild]

Нет, неправда. Можно взять $c_0$ и в качестве первого $\alpha$ что-нибудь большое - чтобы первое равенство выполнялось даже без предела. Осталось подобрать остальные $\alpha$ и $x_i$ так, чтобы ряд расходился - это можно сделать, разбив $\alpha$ на конечные группы с суммами почти $\pm 1$, и выделив каждой группе свою координату.