2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Найти решение диоф. уравнения
Сообщение16.05.2016, 10:32 


24/12/13
351
Докажите, что уравнение $x^3+x+a^2=y^2$ имеет хотя бы одно натуральное решение $x,y$ для любого натурального $a$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти решение диоф. уравнения
Сообщение16.05.2016, 18:25 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
Из очевидного решения $(x,y)=(0,a)$ сложением точек на исходной кривой получается решение $x=\dfrac{1}{4a^2},y=\dfrac{-8a^4-1}{8a^3}$, а из него и предыдущего - искомое $x=64a^6+8a^2,y=512a^9+96a^5+3a$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти решение диоф. уравнения
Сообщение17.05.2016, 12:29 


24/12/13
351
Да, нужно научиться использовать кривые

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти решение диоф. уравнения
Сообщение17.05.2016, 19:06 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
rightways и всем кому это интересно: докажите, например, что уравнение $y^2=x^3-x+a^2$, у которого имеются очевидные решения в натуральных числах $(x,y)=(1,a),(x,y)=(a^2,a^3)$, имеет ещё по крайней мере три решения в натуральных числах при любом натуральном $a$.
Для информации: при $a=2,3,4,6,9,10,18,21,26,30,...,104,105,106,108,...$ у уравнения имеется ровно пять решений в натуральных числах.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти решение диоф. уравнения
Сообщение22.05.2016, 11:26 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
Искомые три решения в натуральных числах для уравнения $y^2=x^3-x+a^2$ для любого натурального $a$:
$x=64a^6-8a^2,y=512a^9-96a^5+3a$,
$x=4a^2-1,y=8a^3-3a$,
$x=4a^2+1,y=8a^3+3a$.
Таким образом, учитывая два очевидных решения $x=1, y=a$ и $x=a^2,y=a^3$
получаем, что рассматриваемое уравнение имеет не менее пяти решений в натуральных числах при любом натуральном $a$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group