2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней. На страницу Пред.  1, 2, 3
 
 Re: Математический марафон
Сообщение30.09.2013, 00:09 
Заслуженный участник


27/06/08
3008
Волгоград
Традиционный график Математического марафона "один тур зимой, другой - летом" потихоньку скатился к системе "весна-осень". Зато теперь для очередного тура можно с полным основанием использовать раскрученный бренд "Осенний марафон".

Особенностью XIX тура является отсутствие тематического конкурса. Не то, чтобы это осознанное решение ведущего, но как-то не сложилось. Хотя в предлагаемых задачах участники без труда заметят следы попыток сохранить тематический конкурс. Как будет дальше, ответить пока не готов. Но всегда готов выслушать (а иногда даже учесть :-)) пожелания участников.

Познакомиться с решениями задач XIX-го тура и обсудить их можно здесь.

========= ММ181 ==========

Разминка

ММ181 (3 балла)

Существует ли натуральное число n, среди остатков от деления которого на все натуральные числа меньшие n чаще всего встречается остаток 2013?


========= ММ182 ==========

Продолжаем разминаться

ММ182 (3 балла)

Назовем натуральное число n суперделимым, если:
1) в каноническом разложении n имеется более двух простых делителей;
2) для любого нетривиального подмножества множества простых делителей n число n кратно сумме элементов этого подмножества.
Доказать, что существует бесконечно много суперделимых чисел.


========= ММ183 ==========

Легкая задача с очевидным неочевидным обобщением

ММ183 (3 балла)

Про пять чисел $a,b,c,d,e$ известно, что $a<b<c<d<e$. Попарные суммы этих чисел выписали в порядке неубывания. Найти число вариантов расположения сумм в этом списке в зависимости от конкретных значений исходных чисел.

========= ММ184 ==========

Как же без графов?

ММ184 (7 баллов)

Компания из 30 отдыхающих собралась для 10-дневного рафтинга. Некоторые их туристов были знакомы между собой. График дежурств (по три человека на каждый день, чтобы каждый отдежурил ровно один раз) составили с помощью жребия. Получилось, что в каждой тройке дежурных ровно двое знакомы между собой. Недовольный такой ситуацией командор предложил свой график, такой что в каждой тройке была ровно одна пара незнакомых. Этот график тоже не всем понравился. Покумекав, туристы смогли совместными усилиями составить такой график, что в каждой тройке дежурных все были знакомы между собой.
Какое наименьшее и наибольшее число пар знакомых могло быть в данной группе?


========= ММ185 ==========

Очередной раз режем квадрат

ММ185 (5 баллов)

Квадрат со стороной 1 разрезали на 100 прямоугольников с суммой периметров P. Найти диапазон возможных значений P.

========= ММ186 ==========

Еще в школе, решая задачи типа "Из пунктов A и B навстречу друг другу...", грезил предлагаемой задачей. И вот...

ММ186 (7 баллов)

В 12:00 расстояние от маяка до сухогруза "Альфа" составляло $12$ км, а до буксира "Омега" - $4\sqrt{13}$.
В 13:00 расстояния от маяка до "Альфы" и "Омеги" оказались такими же как 12:00. А в 14:00 расстояния от маяка до "Альфы" и "Омеги" оказались равны по $12\sqrt5$
Найти минимальное расстояние от "Альфы" до "Омеги", учитывая, что в 13:45 смотритель маяка не видел "Омегу" за "Альфой".

Примечание: Сухогруз и буксир движутся прямолинейно и равномерно. Все плавсредства и маяк - материальные точки.

========= ММ187 ==========

Можно обойтись без эллиптических кривых

ММ187 (6 баллов)

Доказать, что существует бесконечно много пар натуральных чисел $(a,b)$, таких что $\frac{a^2+b^2}{ab+1}$ является натуральным числом.
Доказать, что существует бесконечно много пар, для которых $\frac{a^2+b^2}{ab+1}= 1369$.
Существуют ли пары, для которых $\frac{a^2+b^2}{ab+1} = 2013$?

========= ММ188 ==========

Когда трехмерный случай сложнее четырехмерного

ММ188 (9 баллов)

1. Пусть $M = \{\{a,b,c\},\{a,b,d\},\{a,c,d\},\{b,c,d\}\}$. Подмножество множества $M$ назовем хорошим, если существуют такие векторы $a,b,c,d$ трехмерного евклидова пространства (не обязательно различные), что все тройки из данного подмножества образуют базис, а остальные не образуют. Сколько хороших подмножеств у $M$?
2. Тот же вопрос для случая, когда $M$ - множество сочетаний множества $\{a,b,c,d,e\}$ по 4, и четырехмерного пространства.
3. Тот же вопрос для случая, когда $M$ - множество сочетаний множества $\{a,b,c,d,e\}$ по 3, и трехмерного пространства.

========= ММ189 ==========

Псевдогеометрия

ММ189 (6 баллов)

Для каких натуральных m существует треугольник с целочисленными сторонами и медианой m?
Для каждого подходящего m найти наибольшую возможную сторону.

========= ММ190 ==========

Настоящая геометрия

ММ190 (12 баллов)

Найти наименьшее возможное число прямых, равноудаленных от всех вершин тетраэдра?

Примечание: под тетраэдром понимается произвольная треугольная пирамида.
==========================

 Профиль  
                  
 
 Re: Математический марафон
Сообщение26.05.2014, 15:08 
Заслуженный участник


27/06/08
3008
Волгоград
20-й тур Математического марафона.

Наконец-то стартует юбилейный, 20-й тур Математического марафона.
С одной стороны, в рамках этого тура не проводится никакого дополнительного тематического конкурса.
С другой стороны, сам тур тематический - треугольный. Конечно, лучше было бы сделать треугольным 21-й тур. Но, боюсь, в этом случае, инкубационный период 20-го пришлось бы отложить еще на несколько месяцев. А марафонцы и без того (хочется верить) заждались. Поэтому треугольным будет 20-й.

Публикую задачи прямо сейчас, дабы желающим было чем заняться во время отпусков и каникул. В то же время, учитывая, что не у всех в летние месяцы есть регулярный доступ к Интернету (например, ведущий проводит часть лета без инета), прием решений начинаетя лишь в сентябре.

Познакомиться с решениями задач XX-го тура и обсудить их можно здесь.

===========ММ191===============

ММ191 (4 балла)

Рассматриваются тройки чисел $a \le b \le c$, не превосходящих данного натурального числа n. Каких троек больше, тех, которые могут быть длинами сторон некоторого треугольника, или остальных?


===========ММ192===============

ММ192 (5 баллов)

Рассматриваются целочисленные треугольники со сторонами, не превосходящими данного натурального числа n.
Каких треугольников больше: остроугольных или тупоугольных?


===========ММ193===============

ММ193 (6 баллов)

Игроки Вася, Федя и Коля сыграли несколько паркий в настольный теннис навылет. Сколько партий мог сыграть Коля, если Вася сыграл a партий, а Федя - b?
Примечания:
участники первой партии определяются жребием;
для определенности будем считать, что $b \le a$.


===========ММ194===============

ММ194 (6 баллов)

Из n натуральных чисел, идущих подряд, выбрали 6 и разбили их на две тройки. При этом оказалось, что площади треугольников, стороны которых равны числам из этих троек, равны. При каком наименьшем n возможна такая ситуация?


===========ММ195===============

ММ195 (7 баллов)

Доказать, что для любого натурального числа n, найдется натуральное m, такое что существует не менее n треугольников с целочисленными сторонами и медианой m.


===========ММ196===============

Задача ММ 196 составлена Олегом Полубасовым по мотивам ММ186

ММ196 (9 баллов)

1. Три корабля A, B, и C движутся равномерно и прямолинейно.
2. Когда корабль A находился ближе всего к маяку, расстояние между B и C было 30 миль.
3. Когда корабль B находился ближе всего к маяку, расстояние между A и C было 40 миль.
4. Когда корабль C находился ближе всего к маяку, расстояние между A и B было 14 миль.
5. В 12:00 расстояния от маяка до всех кораблей были одинаковыми.
6. В 13:00 расстояния от маяка до всех кораблей были одинаковыми.
7. В 14:00 расстояния от маяка до всех кораблей были одинаковыми.
8. В 15:00 корабль B пересек маршрут корабля A.
9. В 16:00 корабль A пересек маршрут корабля B.
Найти скорость каждого корабля.
Примечание: Все корабли и маяк - материальные точки.

Последние задачи тура посвящены триангуляции многоугольников


==========================

В задачах ММ197 и ММ198 так же, как в задачах ММ145,146,147,150, под многоугольником понимается фигура, ограниченная плоской несамопересекающейся замкнутой ломаной, никакие три последовательные вершины которой не лежат на одной прямой.

===========ММ197===============

ММ197 (5 баллов)

Будем говорить, что n-угольник относится к классу k, если его можно разрезать на k треугольников, одной прямой. Найти все возможные значения k для $n = 2014$.


===========ММ198===============

ММ198 (8 баллов)

Будем говорить, что n-угольник относится к классу s, если его можно триангулировать на n-2 треугольника внутренними диагоналями в точности s различными способами. Найти три наименьших и три наибольших значения s для $n = 20$.


===========ММ199===============

В задаче ММ199 рассматриваются многоугольники, которые могут иметь многоугольные "дыры". Будем говорить, что данный многоугольник имеет род m, если у него m многоугольных дыр. (В частности, в ММ197 и ММ198 рассматриваются многоугольники рода 0.)

ММ199 (5 баллов)

Сколькими внутренними диагоналями и на сколько треугольников триангулируется n-угольник рода m?


===========ММ200===============

ММ200 (8 баллов)

Обозначим через $T(m)$ максимально возможное количество треугольников, на которые можно разрезать треугольник m прямыми. (Никаких других фигур, при разрезании возникать не должно.)
При каком наименьшем m значение отношения $\frac{T(m)}m$ достигает 4?

Примечание:
13 баллов - это условная цена задачи. Такие баллы будут начисляться за результат (и его обоснование) не хуже, чем у ведущего.

==========================

 Профиль  
                  
 
 Re: Математический марафон
Сообщение31.05.2015, 19:43 
Заслуженный участник


27/06/08
3008
Волгоград
21-й тур Математического марафона

После затянувшейся паузы стартует очередной тур Марафона
Впрочем, активная фаза, как и в прошлом году, начнется осенью.

Особенностью 21-го тура ориентированность (не всех, но большинства задач) на использование компьютера.
Я пытался сделать так, чтобы компьютерные вычисления были лишь вспомогательным инструментом решения.
Получилось ли это у меня - судить вам.

Познакомиться с решениями задач XX-го тура и обсудить их можно здесь.

===========ММ201===============

ММ201 (3 балла)

Для каждого натурального $k$ найти все возможные $n$, при которых множество $\{1, 2, ..., n\}$ можно разбить на классы так, что наибольший элемент в каждом классе ровно в $k$ раз больше количества элементов класса.

===========ММ202===============

ММ202 (5 баллов)

При каких значениях параметра a разрешимо уравнение $x^2 - a = \lfloor x \rfloor  \{x\}$?

===========ММ203===============

ММ203 (5 баллов)

Единичный квадрат разрезали на 5 равновеликих фигур отрезками, параллельными диагоналям. Найти наименьшую возможную суммарную длину этих отрезков.

===========ММ204===============

ММ204 (5 баллов)

Найти натуральное число, которое в трех различных системах счисления записывается 102, 201 и 20001 соответственно.

===========ММ205===============

ММ205 (7 баллов)

Вася выписывает в порядке возрастания натуральные числа, имеющие по 2016 натуральных делителей. На каком шаге он впервые выпишет число, не кратное 2016?

===========ММ206===============

Задачи ММ205 и ММ206 является прямым продолжением задачи ММ77

ММ206 (11 баллов)

Каждое из $n$ натуральных чисел, идущих подряд, имеет ровно $k$ натуральных делителей. Какое наибольшее значение может принимать n, если
1) $k = 18$;
2) $k = 20$;
3) $k = 22$;
4) $k = 202$.

Замечание: Относительно скромное количество призовых баллов за эту задачу обусловлено тем, что при ее решении можно воспользоваться не только решением ММ77, но и результатами статьи, на которую есть ссылка в обсуждении.
Полагаю, эти результаты давно усилены. Но найти в сети сведения об этом я не смог.

===========ММ207===============

ММ207 (13 баллов)

Обозначим через $A(a,d)$ максимально возможное количество последовательных натуральных чисел таких, что первое из имеет ровно $a$ натуральных делителей, второе - $a+d$, третье - $a+2d$ и т.д. (иными словами, количества делителей последовательных чисел образуют арифметическую прогрессию с первым членом a и знаменателем $d$).
1) найти наибольшее возможное значение $A(n,1)$;
2) найти наибольшее возможное значение $A(n,3)$;
3) найти $A(2,2)$;
4) найти $A(4,2)$;
5) доказать, что при подходящем n $A(n,2) \ge 8$.

===========ММ208===============

ММ208 (7 баллов)
От двух до пяти.

Найти наименьшее натуральное число, представимое в виде суммы пяти натуральных слагаемых не менее чем четырьмя способами, таким образом, что любые три слагаемых взаимно просты, а любые два не взаимно просты,.

===========ММ209===============

ММ209 (9 баллов)
Эта задача прямое продолжение задач ММ29 и ММ39
Решения принимаются до 27.11.2015

Назовем натуральное число a третькубом, по основанию g, если дважды приписав в g-ичной системе a к себе получим полный куб. Доказать, что существует бесконечно много оснований g, для которых есть третькубы.

===========ММ210===============

ММ210 (13 баллов)

1. Пусть $М = \{ha, hb, hc, ba, bb, bc, ma, mb, mc\}$ - множество, состоящее из величин высот, биссектрис, и медиан некоторого треугольника. Сколько элементов может быть в M?
2. Пусть в разностороннем треугольнике ABC $(a < b < c)$ и множество М из п.1 содержит 9 элементов. Соответствующие числа расположили в порядке возрастания. Сколько различных упорядочиваний может при этом получится?
3. Тот же вопрос для случая, когда среди чисел $\{ha, hb, hc, ba, bb, bc, ma, mb, mc\}$ могут быть одинаковые. (В этом случае полагаем $a \le b \le c$ и рассматриваем строгое упорядочивание классов одинаковых величин. Перестановки внутри класса не важны.)

Примечание.
Получить ответ для каждого из случаев:
1) рассматриваются только невырожденные треугольники;
2) допускаются вырожденные треугольники (все вершины лежат на одной прямой).

==========================

 Профиль  
                  
 
 Re: Математический марафон
Сообщение21.05.2016, 20:23 
Заслуженный участник


27/06/08
3008
Волгоград
22-й конкурс в рамках Математического марафона

Старожилы Марафона, наверняка, обратили внимание, что привычное слово "тур" заменено на "конкурс". Это сделано, чтобы подчеркнуть самостоятельность этого соревнования.

В связи с этим и рядом других накопившихся изменений в ПРАВИЛА МАРАФОНА внесены некоторые уточнения.

22-й конкурс - тематический. Во всех задачах тура, кроме ММ216, речь пойдет о выпуклых многогранниках.
Во всех задачах, где речь идет о многогранниках, под словом "многогранник" подразумевается выпуклый многогранник.

Как обычно, активная фаза конкурса, стартующего накануне (в начале) лета, начнется осенью. Это не значит, что нельзя решать задачи и присылать решения уже сейчас.

===========ММ211===============

ММ211 (3 балла)
Решения принимаются до 10.09.2016

Доказать, что при любом четном $f > 4$ существует многогранник, имеющий $f$ граней, все грани которого четырехугольники.

===========ММ212===============

ММ212 (4 балла)
Решения принимаются до 17.09.2016

Доказать, что любой многогранник, имеющий 2016 вершин, может быть разрезан на 4030 тетраэдров.

===========ММ213===============

ММ213 (4 балла)
Решения принимаются до 24.09.2016

1. Пусть $H = \{h_1, h_2, \dots h_f\}$, где $f$ - количество граней, а $h_i$ - число сторон i-й грани. Какое наименьшее значение может принимать $f-|H|$ ?
2. Пусть $g_i$ означает число i-угольных граней многогранника для каждого значения $i$ . Могут ли все $g_i$ не превышать 2?

===========ММ214===============

ММ214 (4 балла)
Решения принимаются до 01.10.2016

1. Все грани многогранника - n-угольники. При каких n это возможно?
2. При каком наименьшем числе граней существует многогранник, все грани которого пятиугольны?

===========ММ215===============

ММ215 (4 балла)
Решения принимаются до 08.10.2016

На какое наименьшее количество тетраэдров можно разрезать шестиугольную призму?

===========ММ216===============

ММ216 (10 баллов)
Решения принимаются до 29.10.2016

Назовем натуральное число $n$ красивым, если наименьшее натуральное число, имеющее ровно $n$ натуральных делителей, кратно $n$.
1. Доказать, что все праймориалы красивы.
2. Верно ли, что все факториалы красивы?
3. Сколько существует красивых чисел вида $k^7$, где $k$ - некоторое натуральное число?
4. Сколько существует красивых чисел вида $7^k$, где $k$ - некоторое натуральное число?

===========ММ217===============

ММ217 (6 баллов)
Решения принимаются до 05.11.2016

Диагонали $AC_1$ и $BD_1$ шестигранника $ABCDA_1B_1C_1D_1$, все грани которого четырехугольны, пересекаются в точке $O$. Могут ли остальные пары диагоналей скрещиваться?

===========ММ218===============

ММ218 (5 баллов)
От двух до пяти.
Решения принимаются до 12.11.2016

Найти наименьшее возможное количество диагоналей многогранника, имеющего 2017 ребер.

===========ММ219===============

ММ219 (8 баллов)
Решения принимаются до 26.11.2016

Какое наибольшее количество диагоналей может иметь одиннадцатигранник?

===========ММ220===============

ММ220 (15 баллов)
Решения принимаются до 17.12.2016

Найти наименьшее $v$ такое, что существует многоранник, имеющий $v$ вершин и 2016 диагоналей, а многогранника, имеющего $v+1$ вершину и 2016 диагоналей, не существует.

==========================

Решения присылайте на val-etc на Яндексе или в ЛС.
Не забывайте оценить эстетическую сторону задач.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 34 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group