2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Кривая, в которую можно вписать квадрат, но не треугольник
Сообщение18.08.2010, 03:08 


14/02/06
278
Несложно доказать, что в любую замкнутую кривую можно вписать правильный треугольник.
Схема:
Третья вершина правильного треугольника 2 вершины которого это 2 самые далекие точки на кривой, лежит вне кривой, получаем первый правильный треугольник.. Берем еще один правильный треугольник две вершины которого лежат на кривой, а третья внутри кривой. Отправляем по кривой вершины первого треугольника в вершины второго. Ясно, что для одного из возможных первых треугольников его третья вершина попадет в третью вершину второго треугольника - то есть станет внутренней точкой кривой. Т.к. движение было непрерывным, то в некоторый момент третья вершина находилась на кривой.

Поэтому контрпример, если он есть, следует искать среди незамкнутых кривых.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кривая, в которую можно вписать квадрат, но не треугольник
Сообщение18.08.2010, 04:16 


21/06/06
1661
Не очень я с Вами согласен.
По-мому уважаемый Sonic86 четко построил пример линии, в которую можно вписать квадрат, а равносторонний треуголник - уже нельзя.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кривая, в которую можно вписать квадрат, но не треугольник
Сообщение18.08.2010, 04:26 


14/02/06
278
В 14-м посте я написал, как в эту ломаную вписать правильный треугольник

 Профиль  
                  
 
 Re: Кривая, в которую можно вписать квадрат, но не треугольник
Сообщение18.08.2010, 07:00 
Заслуженный участник


08/04/08
8386
Sasha2, sergey1 прав, Вас наверное просто смущает, что тогда 2 вершины треугольника лежат на одном ребре ломаной. Надо было это случай тоже учитывать. А если ломаную скруглить, то тем более треугольник будет вписан.

-- Ср авг 18, 2010 08:04:42 --

sergey1
А у Вас в методе не учитывается, что получающийся треугольник лежит внутри области? А то у меня для астроиды Ваш прием не всегда дает вписанный треугольник, который лежит целиком в астроиде.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кривая, в которую можно вписать квадрат, но не треугольник
Сообщение18.08.2010, 09:40 


14/02/06
278
Да, не учитывается. Мое рассуждение годится, если вписанным считать треугольник, все вершины которого лежат на линии. Если же еще потребовать, чтобы треугольник лежал внутри замкнутой линии, то пока неясно, существует ли контрпример

 Профиль  
                  
 
 Re: Кривая, в которую можно вписать квадрат, но не треугольник
Сообщение20.08.2010, 20:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/02/10
1928
alex1910 в сообщении #344856 писал(а):
Так как обращение производной в ноль - свойство неинвариантное, негеометрическое - от выбора системы координат зависит.

Как раз это -- геометрическое свойство: необращение в ноль касательного вектора к кривой (это вектор, составленный из производных координатных функций, задающих кривую).

по всей видимости
тут
mihailm в сообщении #344832 писал(а):
И опять замечу, что гладкость кривой не совсем обеспечивается диф-ю компонент, желательно чтоб производные в ноль не обращались

имелось ввиду, что кривая имеет регулярную параметризацию (отсутствуют "клювы" как у астроиды)

 Профиль  
                  
 
 Re: Кривая, в которую можно вписать квадрат, но не треугольник
Сообщение21.08.2010, 15:58 
Заблокирован по собственному желанию
Аватара пользователя


18/05/09
3612
mihailm в сообщении #344832 писал(а):
И опять замечу, что гладкость кривой не совсем обеспечивается диф-ю компонент, желательно чтоб производные в ноль не обращались
Полагаю, mihailm просто не дописал слово "одновременно", что и вызвало возражение
alex1910 в сообщении #344856 писал(а):
Так как обращение производной в ноль - свойство неинвариантное, негеометрическое - от выбора системы координат зависит.
Речь шла о компоненте касательного вектора, а не о самом векторе.
paha в сообщении #345794 писал(а):
Как раз это -- геометрическое свойство: необращение в ноль касательного вектора

Предлагаю этот спор не развивать: всем всё ясно.
Виноватым назначим mihailm :-) .

 Профиль  
                  
 
 Re: Кривая, в которую можно вписать квадрат, но не треугольник
Сообщение22.08.2010, 15:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/02/10
1928
AKM в сообщении #345981 писал(а):
Речь шла о компоненте касательного вектора, а не о самом векторе

да, натуральная параметризация

 Профиль  
                  
 
 Re: Кривая, в которую можно вписать квадрат, но не треугольник
Сообщение10.05.2016, 14:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
4615
sergey1 в сообщении #344904 писал(а):
По-моему, квадрат вписывается в любую замкнутую кривую.
Действительно, http://nature.web.ru/db/msg.html?mid=1159298&uri=node3.html

Теорема 1 (о вписанном квадрате). В любую замкнутую кривую на плоскости можно вписать квадрат.

Точнее, можно найти 4 точки на кривой, служащие вершинами квадрата (если кривая ограничивает невыпуклую область, то квадрату разрешается вылезать из этой области). В работе Шнирельмана кривая предполагается достаточно гладкой. Когда цитируют теорему Шнирельмана, ее часто формулируют для произвольной непрерывной кривой. Авторам неизвестно, опубликовано ли где-нибудь доказательство для этого случая. В 1996 г. один из нас (В.В.Успенский) спросил знаменитого Пола Эрдеша, каков статус теоремы о вписанном квадрате в случае произвольной непрерывной кривой. Эрдеш ответил, что это открытая проблема.
В этом сообщении содержится полезная ссылка с историей вопроса. В двух словах отвечая по теме: если говорить о точках на произвольной замкнутой непрерывной кривой (как в цитате выше), то треугольник, подобный любому данному, можно вписать всегда. С квадратом всё ещё не всё известно. Но по ссылке упомянуты результаты, полученные в 1989-м и 1995-м.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 24 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group