2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Найти рациональные решения уравнения
Сообщение02.11.2015, 14:31 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
Shadow, да, конечно. Исправил опечатку.
Заодно сообщаю, что эта же опечатка в книжке Андрееску с авторами "Введение в диофантовы уравнения" 2010 г.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти рациональные решения уравнения
Сообщение06.11.2015, 02:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/07
762
Продолжим.
Приведённые формулы упрощаются при замене переменных

$\[
\left\{ \begin{array}{l}
 a = r + s \\ 
 b = r - s \\ 
 \end{array} \right.
\]
$

$$\[
x = \frac{{8r^3  + 8rs^2  + 4s}}{{\left( {1 + 2r^2  + 2s^2 } \right)^2 }}
\]$

$$\[
y =  - \frac{{8s^3  + 8sr^2  - 4r}}{{\left( {1 + 2r^2  + 2s^2 } \right)^2 }}
\]$

$$\[
z = \frac{{1 - 2r^2  - 2s^2 }}{{1 + 2r^2  + 2s^2 }}
\]
$

А из них уже проще получить некоторые параметрические варианты решения уравнения

$\[
x^4  + y^2  + z^4  = 1
\]
$

1)Тривиальный вариант

$\[
\left\{ \begin{array}{l}
 r = 0 \\ 
 s = t^2  \\ 
 \end{array} \right.
\]
$

$$\[
x = \frac{{2t}}{{1 + 2t^4 }},y = \frac{{ - 8t^6 }}{{\left( {1 + 2t^4 } \right)^2 }},z = \frac{{1 - 2t^4 }}{{1 + 2t^4 }}
\]$

2)Не очень тривиальный вариант

$$\[
r = \frac{1}{2}
\]$

$$\[
x = \frac{{4s + 2}}{{4s^2  + 3}},y =  - \frac{{32s^3  + 8s - 8}}{{\left( {4s^2  + 3} \right)^2 }},z = \frac{{4s^2  - 1}}{{4s^2  + 3}}
\]$

3)И очень нетривиальный вариант

$$\[
r = \frac{{16s^4  - 8s^2  - 32s + 1}}{{8\left( {2s + 1} \right)^2 }}
\]
$

Полученные при этом $r$ параметрические формулы очень громоздки, поэтому их не пишу.
Приведу цифровой пример по третьему варианту при $s=1$

$$\[
r =  - \frac{{23}}{{72}}
\]
$

$$\[
\left( {\frac{{564}}{{1661}}} \right)^4  + \left( {\frac{{{\rm{318096}}}}{{{\rm{1661^2}}}}} \right)^2  + \left( {\frac{{{\rm{3121}}}}{{{\rm{8305}}}}} \right)^4  = 1
\]$

Конечно, найти все решения вряд ли возможно.
Но можно поискать среди найденных решений цифровые значения для $r$, при которых ранг числителя у $y$: $8s^3  + 8sr^2  - 4r$ не равен нулю.
А это эквивалентно существованию бесконечного количества решений в целых числах уравнения

$\[
a^4  + b^4  +c^4  = d^4 
\]$

Мне известны только два варианта

$$\[
{\rm{414560}}^4 {\rm{  +  217519}}^4 {\rm{  +  95800}}^4  = {\rm{422481}}^4 
\]$

$$\[
{\rm{769321280}}^4 {\rm{ + 606710871}}^4 {\rm{ + 558424440}}^4  = {\rm{873822121}}^4 
\]$

Может кому-то повезёт!

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти рациональные решения уравнения
Сообщение12.11.2015, 22:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/07
762
Вот ещё интересная задачка
Решить в рациональных числах $x,y$

$$x^2  + y^2  = a^4  + b^4 $

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти рациональные решения уравнения
Сообщение13.11.2015, 11:06 
Заслуженный участник


04/03/09
906
Коровьев в сообщении #1072798 писал(а):
Вот ещё интересная задачка
Решить в рациональных числах $x,y$

$x^2  + y^2  = a^4  + b^4 $

А точно не $x^4  + y^4  = a^2  + b^2 $ ? А то слишком просто получается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти рациональные решения уравнения
Сообщение13.11.2015, 15:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/07
762
Нет, всё верно. Я потому и назвал её "задачкой", так как она очень простая.
Но её можно решить разными методами - школьным или с использованием элементов теории чисел. В этом случае она решается буквально в одну строчку.
(И выявится моя большая неточность в решении предыдущей задачи. :oops: )

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти рациональные решения уравнения
Сообщение13.11.2015, 20:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/07
762
В кольце целых Гауссовых чисел существуют только тривиальные единицы, т.е числа норма которых равна единице. Это числа $\pm 1, \pm i$.
Но вот в поле этих чисел уже существуют и не тривиальные единицы.

$$\[
\varepsilon \left( t \right) = \frac{{1 - t^2 }}{{1 + t^2 }} + \frac{{2t}}{{1 + t^2 }}i
\]$

где $t$ любое рациональное число.

И приведённая задачка решается очень просто в одну строчку

$$\[
N\left( {x + yi} \right) = N\left( {a^2  + b^2 i} \right)N\left( {\varepsilon \left( t \right)} \right) = N\left( {\left( {\frac{{1 - t^2 }}{{1 + t^2 }}a^2  - \frac{{2t}}{{1 + t^2 }}b^2 } \right) + \left( {\frac{{1 - t^2 }}{{1 + t^2 }}b^2  + \frac{{2t}}{{1 + t^2 }}a^2 } \right)i} \right)
\]$

Отсюда

$$\[
x = \frac{{1 - t^2 }}{{1 + t^2 }}a^2  - \frac{{2t}}{{1 + t^2 }}b^2 
\]$

$$\[
y = \frac{{1 - t^2 }}{{1 + t^2 }}b^2  + \frac{{2t}}{{1 + t^2 }}a^2 
\]$

Теперь перейдём к предыдущей задаче.
Там в решении было использовано тождество

$$\[
x^2  + y^2  = \left( {k^2  + t^2 } \right)\left( {1 + z^2 } \right) = \left( {k - tz} \right)^2  + \left( {t + kz} \right)^2 
\]
$

и было заявлено, что эти $x$ и $y$ представляют все решения. Но это, как видим из выше изложенного, далеко не так.
Все решения получаются из следующего соотношения

$$\[
N\left( {x + yi} \right) = N\left( {k + ti} \right)N\left( {1 + zi} \right)N\left( {\varepsilon \left( m \right)} \right)
\]$

Откуда

$$\[
x = \left( {k - tz} \right)\frac{{1 - m^2 }}{{1 + m^2 }} - \left( {t + kz} \right)\frac{{2m}}{{1 + m^2 }}
\]$

$$\[
y = \left( {t + kz} \right)\frac{{1 - m^2 }}{{1 + m^2 }} - \left( {k - tz} \right)\frac{{2m}}{{1 + m^2 }}
\]$

И решение получается уже не двух параметрическим, а трёх параметрическим, что меня несколько настораживает.
А уж об окончательном виде полученных формул и говорить страшно :shock:

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти рациональные решения уравнения
Сообщение13.11.2015, 21:28 


26/08/11
2057
Не согласен, замена переменных $(x,y)$ на $(k-tz,t+kz)$ абсолютно корректна и однозначна. Третий параметр - лишний Не принимает ссылку почему то:

[url]http://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+%28k-t*z%29%281-m^2%29%2F%281%2Bm^2%29-%28t%2Bk*z%29%282+m%29%2F%281%2Bm^2%29%3Da-b*z%2C%28t%2Bk*z%29%281-m^2%29%2F%281%2Bm^2%29-%28k-t*z%29%282+m%29%2F%281%2Bm^2%29%3Db%2Ba*z+for+a%2Cb[/url]

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти рациональные решения уравнения
Сообщение13.11.2015, 23:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/07
762
Пусть мы имеем для $x,y$
$$\[
x = \left( {k - tz} \right)\frac{{1 - m^2 }}{{1 + m^2 }} - \left( {t + kz} \right)\frac{{2m}}{{1 + m^2 }}=a-bz
\]$

$$\[
y = \left( {t + kz} \right)\frac{{1 - m^2 }}{{1 + m^2 }} - \left( {k - tz} \right)\frac{{2m}}{{1 + m^2 }}=b+az
\]$


Но $k,t$ у нас не являются независимыми переменными, они есть сложные функции от $m,n$. А $a,b$ здесь уже выступают как независимые переменные, поэтому появятся их значения, при которых для $m,n$ не найдётся рациональных значений.
Не математически грубо говоря - множество значений справа больше множества значений слева.
Как-то так.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти рациональные решения уравнения
Сообщение17.11.2015, 17:57 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
Коровьев в сообщении #1070665 писал(а):
А из них уже проще получить некоторые параметрические варианты решения уравнения $x^4+y^2+z^4=1$

Приведу еще некоторые из бесконечного множества возможных параметризаций.
Из пункта 1. последовательно выращиваются:
$r=\dfrac{t^6}{2},s=t^2$,
$r=\dfrac{4(t^8+2)}{t^{10}}, s=t^2$,
$r=\dfrac{{t^6}(t^{16}-8t^8-16)}{8(t^8+2)^2}, s=t^2$,
$r=\dfrac{4{t^6}(t^8+2)(3t^{16}+24t^8+32)}{(t^{16}-8t^8-16)^2}, s=t^2$
и т. д.
Из пункта 2. последовательно выращиваются пункт 3. и далее следует
$r=\dfrac{(2304{s^8}+2048{s^7}+2304{s^6}+3072{s^5}+6624{s^4}+3712{s^3}+720{s^2}-384s+1)}{2(-3-48s-24{s^2}+16{s^4})^2}$
Дальше можно продолжать сколь угодно долго.
То же самое проделывается с числителем для $y$.
В частности пункт 3. для $y$ выглядит так $s=\dfrac{16r^4-8r^2+32r+1}{8(2r-1)^2}$
По поводу ранга. Эллиптические кривые $8r^3+8rs^2+4s=U^2$ для $x$ и $8s^3+8sr^2-4r=V^2$ для $y$ имеют положительный ранг для всех рациональных $s\ne{0}$ первая и для всех рациональных $r\ne{0}$ вторая.
Но из этого не следует существования бесконечного числа решений для уравнения $x^4+y^4+z^4=u^4$ даже если найдется рациональная пара $r,s$ общая для каких-то двух (из бесконечного числа) параметризаций двух указанных кривых.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти рациональные решения уравнения
Сообщение18.11.2015, 11:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/07
762
scwec в сообщении #1074330 писал(а):
Но из этого не следует существования бесконечного числа решений для уравнения $x^4+y^4+z^4=u^4$ даже если найдется рациональная пара $r,s$ общая для каких-то двух (из бесконечного числа) параметризаций двух указанных кривых.

Совершенно верно. Это очередной мой косяк. :oops:

Теперь о "трёхпараметричности".
Хотя $x,y$ зависят от трёх параметров, получаемое $z$ уже не зависит от третьего внесённого параметра.
И если дать цифровое значение первым двум параметрам, то мы получим тождество
от одного переменного

$$\[
x^2 \left( m \right) + y^2 \left( m \right) + z_0^4  = 1
\]$

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти рациональные решения уравнения
Сообщение18.11.2015, 17:58 


18/08/14
57
Можно попробовать решить уравнение ${z}^{4}+{y}^{2}+{x}^{2}=1$ по другому.
Преобразуем ${z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}=1$ через матрицу:

$\begin{pmatrix}a & b\,\left( -{z}^{2}-{y}^{2}+1\right) \cr b & a\end{pmatrix}$

далее характеристический полином: $${b}^{2}\,{z}^{2}+{b}^{2}\,{y}^{2}+{x}^{2}-2\,a\,x-{b}^{2}+{a}^{2}$
,заменяем $[a=y,b=z]$ (в замене нет никакой логики: просто так получилось решение).

Полученное уравнение имеет корни: $$x_{1}=\frac{2\,\left( {n}^{3}-m\,{n}^{2}+{m}^{2}\,n+n-{m}^{3}+m\right) }{{\left( {n}^{2}+{m}^{2}+1\right) }^{2}},x_{2}=\frac{2\,\left( {n}^{3}+m\,{n}^{2}+{m}^{2}\,n+n+{m}^{3}-m\right) }{{\left( {n}^{2}+{m}^{2}+1\right) }^{2}} $
(y и z не меняется).

А если находить $y$ из характеристического полинома имеем два корня:

$$[y=-\frac{z\,\sqrt{-{z}^{4}-{x}^{2}+1}-x}{{z}^{2}+1},y=\frac{z\,\sqrt{-{z}^{4}-{x}^{2}+1}+x}{{z}^{2}+1}] $.

Подставив в радикал $x$ и $z$ получим $y$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти рациональные решения уравнения
Сообщение06.05.2016, 23:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/07
762
Найти параметрическое решение диофантового уравнения от двух переменных $x,y$

$$\[
z^2  = x^3  + x\left( {y^2  - a^2 } \right)
\]
$
Здесь $a$ постоянное рациональное число.
Я не случайно поместил данную задачу в эту тему, так как в моём решении используется один из результатов этой темы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти рациональные решения уравнения
Сообщение07.05.2016, 18:01 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
Полагая $x=X^2$ и решая уравнение $X^4+y^2-a^2-t^4=0$
можно получить бесконечное множество частных 1-параметрических решений.
Например, $X=\dfrac{t(3a^4-4t^8)}{a^4+4t^8+8t^4{a^2}}$

$y=\dfrac{a(a^8-24t^4{a^6}-72t^8{a^4}-96t^{12}{a^2}-48t^{16})}{16t^{16}+64t^{12}{a^2}+72t^8{a^4}+16t^4{a^6}+a^8}$
и т.д.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти рациональные решения уравнения
Сообщение07.05.2016, 18:46 


18/08/14
57
Цитата:
Найти параметрическое решение диофантового уравнения от двух переменных $x,y$

$$z^2 = x^3 + x\left( {y^2 - a^2 } \right)  $
Здесь $a$ постоянное рациональное число.
Я не случайно поместил данную задачу в эту тему, так как в моём решении используется один из результатов этой темы.

задача эквивалентна поиску рациональных решений уравнения:
${X}^{4}+{a}^{2}={Z}^{2}+{Y}^{2}$
где $a$ - постоянное рациональное число.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти рациональные решения уравнения
Сообщение07.05.2016, 23:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/07
762
Можно найти все решения.

$$\[
z^2  = x^3  + x\left( {y^2  - a^2 } \right)
\]
$

Введём новую переменную $t$ такую, что

$$\[
z = xt
\]
$

Получим

$$\[
x^2  - xt^2  + y^2  - a^2  = 0
\]
$

$$\[
x = \frac{{t^2  \pm \sqrt {t^4  - 4y^2  + 4a^2 } }}{2}
\]
$

Следовательно должно выполняться

$$\[
t^4  - 4y^2  + 4a^2  = d^2  \to d^2  + 4y^2  = t^4  + 4a^2 
\]
$

Аналогично ранее рассмотренной задачи находим решения и этого уравнения

$$\[
d = t^2 \frac{{1 - r^2 }}{{1 + r^2 }} + 2a\frac{{2r}}{{1 + r^2 }}
\]
$

$$\[
2y = 2a\frac{{1 - r^2 }}{{1 + r^2 }} - t^2 \frac{{2r}}{{1 + r^2 }}
\]
$

Окончательно получим двухпараметрическое общее решение исходного уравнения

$$\[
x = \frac{{t^2  + 2ar}}{{1 + r^2 }},y = \frac{{t^2 r - a\left( {1 - r^2 } \right)}}{{1 + r^2 }},z = \frac{{t^3  + 2atr}}{{1 + r^2 }}
\]
$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 42 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group