2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Сумма периодических функций
Сообщение16.01.2010, 21:02 
Аватара пользователя


05/09/05
118
Москва
В Википедии нашел следующее:
Цитата:
Являются неверными утверждения относительно суммы периодических функций:

1) Сумма 2 функций с соизмеримыми (даже основными) периодами $T_1$ и $T_2$ является функция с периодом $\text{НОК}(T_1,T_2)$.
2) Сумма 2 непрерывных функций с несоизмеримыми (даже основными) периодами является непериодической функцией.
3) Не существует периодических функций, не равных константе, у которой периодами являются несоизмеримые числа.

http://ru.wikipedia.org/wiki/Периодическая_функция
По мимо орфографических тут есть и фактические ошибки: утверждение 1 истинно. С другой стороны, утверждение 3 действительно ложно. Утверждение 2 мне кажется истинным, но я не знаю, как его доказать. Как?

 i  От модератора AD:
Поправил ссылочку на Википедию. А вот Firefox самостоятельно русские буковки в процентики переводит 8-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма периодических функций
Сообщение16.01.2010, 21:10 
Экс-модератор


17/06/06
5004
:arrow: Ня?

-- Сб янв 16, 2010 21:12:36 --

Не, наверное, не совсем то.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма периодических функций
Сообщение16.01.2010, 22:28 


21/06/06
1661
На самом деле первое утверждение не является ошибкой.
Рассмотрите простой пример $\sin(\frac{x}{6})+\cos(\frac{x}{8})$
НОК там равен $24\pi$, но нетрудно видеть, что периодом $24\pi$ не является.
А вот, когда оба периода взаимно просты, то тогда наверно можно делать какие-либо высказывания в зависимости от четности произведения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма периодических функций
Сообщение16.01.2010, 22:36 
Экс-модератор


17/06/06
5004
Sasha2 в сообщении #281123 писал(а):
НОК там равен $24\pi$
Серьёзно? У второй функции период $16\pi$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма периодических функций
Сообщение17.01.2010, 20:19 
Аватара пользователя


05/09/05
118
Москва
AD в сообщении #281106 писал(а):
:arrow: Ня?

-- Сб янв 16, 2010 21:12:36 --

Не, наверное, не совсем то.

По ссылке интересная тема, но, действительно, не совсем то. Так что же, вроде бы я не сложный вопрос задал. Кто что может сказать? Как, например, доказать, что $\sin x + \sin \pi x$ непериодична?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма периодических функций
Сообщение17.01.2010, 22:10 


13/11/09
166
1. Возьмем $x = \pi$. Тогда $\sin(\pi - T) + \sin(\pi(\pi - T))= \sin(\pi + T) + \sin(\pi(\pi + T))$ или $\sin(T) = \sin(\pi T) \sin(\pi ^ 2)$.
2. Возьмем $x = 0$. Тогда $\sin(0 - T) + \sin(\pi(0 - T))= \sin(0 + T) + \sin(\pi(0 + T))$ или $\sin(T) = - \sin(\pi T)$.
3. Отсюда $\sin(T) = \sin(\pi T) = 0$, что, очевидно, приводит к противоречию.

Более того, в условии число $\pi$ можно заменить на любое иррациональное число.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма периодических функций
Сообщение05.05.2016, 13:41 


05/05/16
4
3) Не существует периодических функций, не равных константе, у которой периодами являются несоизмеримые числа.


как доказать, что утверждение 3 действительно ложно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма периодических функций
Сообщение05.05.2016, 13:49 
Заслуженный участник


23/07/08
6680
Харьков
Рассмотрите функцию, которая равна $1$ для вещественных чисел, представимых в виде $m+n\sqrt 2$, где $m$ и $n$ целые, и $0$ для остальных.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма периодических функций
Сообщение06.05.2016, 11:39 


05/05/16
4
Спасибо

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма периодических функций
Сообщение07.05.2016, 11:35 
Заслуженный участник


10/01/16
1256
Ираклий
Нехорошо, однако. Цитирование, пардон, некорректное...
У Вики то все верно. Но:
1. Вики грит про ОСНОВНОЙ период суммы, а ТС это опустил.
2. ТС грит о НЕПРЕРЫВНЫХ функциях, а Вики - о любых
3. Вики дает пример. Боле того, этот пример подходит и для п.2 (как и пример svv): сумма с собой - периодична, хотя у слагаемых ЕСТЬ несоизмеримые периоды.
Ираклий в сообщении #281283 писал(а):
$\sin x + \sin \pi x$ непериодична?

А можно и так : комбинируя со второй производной - получим хочь первое слагаемое, хочь - второе...

-- 07.05.2016, 12:38 --

Ираклий в сообщении #281102 писал(а):
По мимо орфографических тут есть и фактические ошибки:

Это - да, тут - есть, и по миму, и помимо...

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма периодических функций
Сообщение07.05.2016, 11:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
3700
DeBill

(Оффтоп)

Обратите, пожалуйста, внимание, что Вы вступили в полемику с ТС, который последний раз заходил на форум в начале 2010 г. И при обсуждении цитирования Вики в первом сообщении темы стоит смотреть на историю страницы в Вики от сентября 2009-го. Там действительно примерно такие утверждения (особо глубоко не вникал).

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма периодических функций
Сообщение07.05.2016, 15:13 
Заслуженный участник


10/01/16
1256
grizzly

(Оффтоп)

Нда, был не внимателен и не прав...

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group