2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Фихтенгольц. Том2 примеры 269 4в (2003 год).
Сообщение01.05.2016, 12:45 


26/08/11
120
Найти $\int \frac{dx}{A^{2}\sin^2(x) + B^2\cos^2(x)}$

Никаких ограничений на область определения подинтегрального выражения не указано. Если $A$ или $B$ равны $0$ (но не оба сразу), то тогда область определения задаётся теми промежутками, где $\cos(x)$ или $\sin(x)$ (соотвественно) не обращаются в ноль. Если $A \ne 0$ и $B \ne 0$, то область определения $\mathbb{R}$.

Дальше интеграл преобразуется в $\int \frac{\frac{dx}{\cos^{2}(x)}}{A^{2}\tg^2(x) + B^2}$. Но у этого подинтегрального выражения область определения там где $\cos(x) \ne 0$.

Вопросы:
1) Верно ли то, что автор подразумевает $A \ne 0$ и $B \ne 0$ (ибо эти случаи тривиальны и замен не требуют)?
2) Почему в учебнике обходятся нахождением первообразной область определения которой промежутки, где $\cos(x) \ne 0$? Сама первообразная $\frac{1}{AB}\arctg(\frac{A}{B}\tg{x}) + C$

 Профиль  
                  
 
 Re: Фихтенгольц. Том2 примеры 269 4в (2003 год).
Сообщение01.05.2016, 13:08 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Guliashik в сообщении #1119789 писал(а):
Сама первообразная $\frac{1}{AB}\arctg(\frac{A}{B}\tg{x}) + C$

Это не совсем так: для первообразной в целом на разных промежутках добавляются разные константы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Фихтенгольц. Том2 примеры 269 4в (2003 год).
Сообщение01.05.2016, 14:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14429
Это не совсем так: константы все могут быть одинаковыми. Хотя даже в целом это невозможно определить. В смысле, что если считать константы целыми, и надо найти вероятность того, что они все разные. Это праздничная шутка такая :-) А вы уже разговелись на шашлыках?

 Профиль  
                  
 
 Re: Фихтенгольц. Том2 примеры 269 4в (2003 год).
Сообщение01.05.2016, 14:55 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
gris в сообщении #1119806 писал(а):
Это не совсем так: константы все могут быть одинаковыми.

Все -- не могут: первообразная монотонна.

 Профиль  
                  
 
 Re: Фихтенгольц. Том2 примеры 269 4в (2003 год).
Сообщение01.05.2016, 15:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14429
Ой. Я функцию не рассмотрел. Прошу прощения :oops: .

 Профиль  
                  
 
 Re: Фихтенгольц. Том2 примеры 269 4в (2003 год).
Сообщение01.05.2016, 17:59 


26/08/11
120
ewert в сообщении #1119797 писал(а):
Это не совсем так: для первообразной в целом на разных промежутках добавляются разные константы.

Не понимаю, почему они должны быть разными на разных промежутках. Ведь как ни крути а производная то одна и та же. И совсем не понимаю, какое отношение это имеет к вопросу. Не могли бы вы чуть подробнее объяснить?

 Профиль  
                  
 
 Re: Фихтенгольц. Том2 примеры 269 4в (2003 год).
Сообщение01.05.2016, 18:51 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Попробуйте разрешить такой парадокс. При ненулевых $A, B$ функция $f(x)=\frac 1{A^{2}\sin^2 x + B^2\cos^2 x}$ всюду больше нуля. Более того, существует такое $c>0$, что $f(x)\geqslant c$ всюду. Поэтому первообразная должна быть строго возрастающей. А она периодическая. Как она «выкручивается»? Разберётесь — поймёте всё.

 Профиль  
                  
 
 Re: Фихтенгольц. Том2 примеры 269 4в (2003 год).
Сообщение01.05.2016, 18:53 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Guliashik в сообщении #1119789 писал(а):
Почему в учебнике обходятся нахождением первообразной область определения которой промежутки, где $\cos(x) \ne 0$?

Потому, что только на таких промежутках работает эта замена. Если заменять на котангенс, то и промежутки будут другими. В любом случае: первообразная для одного из этих промежутков изначально никак не связана с первообразной для соседнего. Т.е. никак не связаны входящие в них произвольные постоянные. Однако эти константы можно согласовать между собой так, чтобы каждая такая первообразная непрерывно переходила в соседние. Это и будет общая первообразная для всей оси.

Фихтенгольц об этом не говорит просто потому, что его на тот момент волнует лишь техника интегрирования.

 Профиль  
                  
 
 Re: Фихтенгольц. Том2 примеры 269 4в (2003 год).
Сообщение01.05.2016, 21:41 


26/08/11
120
Верно ли я понимаю, что первообразной будет, например, $\frac{1}{AB}\arctg(\frac{A}{B}\tg{x}) + \lceil{\frac{x+\pi/2}{\pi}}\rceil \frac{\pi}{AB}$, при этом надо устранить разрывы там где $\cos(x)=0$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Фихтенгольц. Том2 примеры 269 4в (2003 год).
Сообщение01.05.2016, 22:30 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Не вникал, но что-то типа. Разрывы же на границах самоустранятся по непрерывности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Фихтенгольц. Том2 примеры 269 4в (2003 год).
Сообщение02.05.2016, 08:18 


26/08/11
120
Спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Фихтенгольц. Том2 примеры 269 4в (2003 год).
Сообщение02.05.2016, 09:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14429
Мне нравится частный случай: $\int dx=\int \dfrac {dx}{\sin^2 x+\cos^2x}=\arctg(\tg x)+C$, где $C$ тоже как бы кусочно постоянная. Если $C$ считать нулём, то получим очень удобную первообразную. Вообще любую первообразную можно порезать на не слишком маленькие кусочки и двигать их вверх-вниз для удобства использования.

 Профиль  
                  
 
 Re: Фихтенгольц. Том2 примеры 269 4в (2003 год).
Сообщение02.05.2016, 17:01 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Так как сама функция $\frac{1}{A^{2}\sin^2(x) + B^2\cos^2(x)}$ ведёт себя нормально в точках, где $\cos x=0$, возникает вопрос, нет ли у неё какой-нибудь другой первообразной, которая там была бы непрерывна? Действительно, такая есть:
$\frac{1}{AB}\arcctg(\frac{B}{A}\ctg{x}) + C$
А разрывна она в точках, где $\sin x=0$.
С помощью обеих первообразных можно устроить «цепное дыхание»: пока одна «поёт», другая меняет константу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Фихтенгольц. Том2 примеры 269 4в (2003 год).
Сообщение02.05.2016, 17:06 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
svv в сообщении #1120141 писал(а):
С помощью обеих первообразных можно устроить «цепное дыхание»: пока одна «поёт», другая меняет константу.

Безусловно так и нужно делать, но -- в вычислительных задачах (при программировании этой функции). В теории же лучше оставить просто тангенс.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group