2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Вариационная задача с условием неубывания
Сообщение13.04.2016, 23:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


05/12/09
1760
Москва
Предположим, у нас есть задача вариационного исчисления на функцию $y=y(x)$, $x\in [0,1]$, вида $$\int_0^1f(x,y(x))\,dx\to extr;\quad \int_0^1f_i(x,y(x))\,dx=c_i,\quad 1\le i\le n. $$ Понятно, как делать - дифференцировать по $y$ с множителями Лагранжа. Но есть еще дополнительное условие, что $y(x)$ должна быть неубывающей. И для получающихся экстремалей (без учета условия) это выполняется не всегда. Можно ли как-то учесть условие в ходе решения, чтобы искать экстремумы именно среди нужных функций?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вариационная задача с условием неубывания
Сообщение14.04.2016, 00:24 


16/02/10
258
Чтобы избавиться от фазовых ограничений в исходной задаче, можно перейти к эквивалентной задаче теории управления
$$\left\{ {\begin{array}{l}
\dot{y_0}=u; \\
\dot{y_i}= f_i(t,y_0),\  1\le i\le n;\\
 \end{array}} \right.$$
$$\int_0^1{f(t,y_0)dt}\to \min_u;$$ 
$$u(t)\ge0;$$
$$y_i(1)=c_i,\ 1\le i\le n. $$

 Профиль  
                  
 
 Re: Вариационная задача с условием неубывания
Сообщение16.04.2016, 19:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


05/12/09
1760
Москва
А такую задачу как решать, не подскажите? Или ссылку на книгу, где решаются подобные задачи (желательно на русском)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вариационная задача с условием неубывания
Сообщение17.04.2016, 00:05 


16/02/10
258
Решается это применением принципа максимума. Посмотрите, например, эти книги.
Понтрягин и др
Болтянский
Алексеев Тихомиров Фомин
Афанасьев Колмановский Носов
Справочник

 Профиль  
                  
 
 Re: Вариационная задача с условием неубывания
Сообщение17.04.2016, 01:01 


29/09/06
4552
Правильно ли я понимаю, что заявленное alisa-lebovski требование монотонности $y(x)$ представлено в ответе VPro как "избавление от фазовых ограничений"?

Если да, то намекните, пожалста, подробнее на мой (терминологический?) пробел: не понимаю этого перехода. Ну, может, что-то из Фурье-анализа, или из другой области.
Мерси.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вариационная задача с условием неубывания
Сообщение17.04.2016, 01:38 


16/02/10
258
Требование неотрицательности производной и есть пример фазовых ограничений в вариационном исчислении. Такие задачи не решаются классическими методами.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Vladimir Pliassov


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group