Задачка по аналитической геометрии

[Orkimed]

Здравствуйте. Обнаружил в методичке по аналитической геометрии с первого семестра интересную задачку. Часть смог ответить с ходу. Но доказать эти утверждения никак не получается.
$ a. \left\lvert\vec{a}+\vec{b}\right\rvert=\left\lvert\vec{a}-\vec{b}\right\rvert \\ b. \left\lvert\vec{a}+\vec{b}\right\rvert>\left\lvert\vec{a}-\vec{b}\right\rvert \\ c. \left\lvert\vec{a}+\vec{b}\right\rvert<\left\lvert\vec{a}-\vec{b}\right\rvert \\ d. \left\lvert\vec{a}+\vec{b}\right\rvert=\left\lvert\vec{a}\right\rvert +\left\lvert\vec{b}\right\rvert \\ i. \left\lvert\vec{a}+\vec{b}\right\rvert=\left\lvert\vec{a}\right\rvert -\left\lvert\vec{b}\right\rvert \\ f. \vec{a}+\vec{b}\,\text {делит угол} (\vec{a};\vec{b})\, \text{пополам}\\ g. (\vec{a}+\vec{b})\perp(\vec{a}-\vec{b})\\ h. (\vec{a}+\vec{b})\parallel(\vec{a}-\vec{b})\\ $
Первое решил с помощью теоремы косинусов. Равенство противолежащих углов к $\left\lvert\vec{a}+\vec{b}\right\rvert$и $\left\lvert\vec{a}-\vec{b}\right\rvert$из чего следует, что углы равны, так как сумма равна $\pi$
А дальше затык. Как доказать никак не могу додуматься.

[svv]

Orkimed в сообщении #1114140 писал(а):

Но доказать эти утверждения никак не получается.

Простите, как их можно «доказать»? В общем случае неверно ни одно из равенств/неравенств. Вам, скорее всего, надо выяснить, в каких случаях они справедливы — но никак не доказать.

По поводу первого у меня такие ассоциации:
$(\vec{a}+\vec{b})^2=(\vec{a}-\vec{b})^2$
$\vec{a}\cdot\vec{b}=0$

[Pphantom]

Особенно приятна перспектива совместного доказательства утверждений a,b,c, а также g и h.

[svv]

И ведь начало уже получаться!

-- Пн апр 11, 2016 16:20:24 --

Orkimed в сообщении #1114140 писал(а):

i. $\left\lvert\vec{a}+\vec{b}\right\rvert=\left\lvert\vec{a}\right\rvert -\left\lvert\vec{b}\right\rvert$

Ещё: название английской буквы «e» произносится «и», но сама буква пишется всё-таки «e».

[Orkimed]

Получается доказательства будут не тривиальными? Под словом доказать я подразумеваю "сделать вывод из какого-либо выражения".Например, в b. ответ угол между векторами $(0;\frac{\pi}{2})$. Я это написал сходу, но как и откуда можно сделать такой вывод мне сложно сказать.
svv
Пример моих размышлении над первым пунктом.
Косинус угла против $\left\lvert\vec{a}+\vec{b}\right\rvert$ равен $\cos(\alpha)=\frac{(a+b)^2-a^2-b^2}{2ab}$. Косинус угла против $\left\lvert\vec{a}-\vec{b}\right\rvert$ равен $\cos(\varphi)=\frac{(a-b)^2-a^2-b^2}{2ab}$. Учитываем, что сумма этих углов равна $\pi$ и $\left\lvert\vec{a}+\vec{b}\right\rvert=\left\lvert\vec{a}-\vec{b}\right\rvert,$получается $\alpha=\varphi=\frac{\pi}{2},$.Значит угол между векторами равен 90 градусов.
Весь фокус в том, что это задание идёт до понятий произведений векторов, поэтому будет нечестно ими пользоваться.
Что-то в этом же духе будет сложно сделать для остальных пунктов?

[Munin]

Вы уверены, что там вообще надо чего-то доказывать, а не решать?

[Orkimed]

Munin
Нужно решить, но мне интересно доказать.

[Munin]

Доказать что?

Вот есть уравнение: $2+x=5.$ Его можно решить, но я в упор не пойму, чего в нём можно доказывать.

[Pphantom]

Orkimed в сообщении #1114179 писал(а):

Нужно решить, но мне интересно доказать.

Доказывать можно что-то правильное, а для этого надо сначала полностью сформулировать задачу.

[Orkimed]

Перефразирую. Обличить процесс размышлений в какие-либо высказывания из которых можно сделать вывод. В первом я это сделал. Явно можно сделать вывод. Разве что-то подобное нельзя сделать для остальных?

[svv]

Orkimed в сообщении #1114171 писал(а):

Получается доказательства будут не тривиальными?

Тривиальными, но, пожалуйста, не называйте это «доказательством». В самом деле, как можно доказать утверждения a, b, c, если они противоречат друг другу?

Orkimed в сообщении #1114140 писал(а):

Обнаружил в методичке по аналитической геометрии с первого семестра интересную задачку.

Раз это делается для интереса, советую всё-таки решить это с помощью скалярного произведения, благо, Вы с ним уже знакомы. В противном случае это будет тренировка в выкапывании траншеи лопатой, когда есть экскаватор.

[Orkimed]

svv
Мне интересно без использования произведений. Вы можете помочь мне в этом?

[arseniiv]

Orkimed
Тут у вас утверждения со свободными переменными. Их истинность зависит от значений переменных, и потому они не могут быть доказаны, если только не использовать соглашение навешивать на все свободные переменные квантор $\forall$, но (1) оно не везде соглашение, (2) с ним тут всё получится неверным и потому недоказуемым, если вы только не станете исходить из аксиомы $0=1$.

Ваша же задача — найти утверждения, равносильные данным (по отдельности, конечно), но этакого «более простого» вида. Под которым можно понимать отсутствие норм модулей в этом утверждении, например. Это задача не обязательно с единственным решением, даже если в точности описать, что понимать под требуемым видом, так что называть её «доказательством» не очень полезно.

Orkimed в сообщении #1114191 писал(а):

Мне интересно без использования произведений.

Без использования их в ответе или вообще во всех промежуточных выкладках? Второе лучше не делать — со скалярными произведениями тут очень удобно, а любая альтернатива будет просто более страшной записью того же. Если первое, то ничто не мешает под конец сконвертировать все оставшиеся скалярные произведения в углы и модули.

[Someone]

(Orkimed)

Orkimed в сообщении #1114186 писал(а):

Обличить процесс размышлений

Уголовное дело на "процесс размышлений" желаете завести?

[Orkimed]

arseniiv
Правда, с использованием произведения будет проще и нагляднее.
Вопросы некоторые вопросы.
Во втором
$(a+b)^2>(a-b)^2,\,4ab>0\Rightarrow \cos(\varphi)>0$ в $(\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2})$ или $(0;\frac{\pi}{2})$ и $(\frac{3\pi}{2};0)$
Как это интерпретировать? Я знаю, что в ответ входит $(0;\frac{\pi}{2})$ угол между векторами был меньше 90 градусов. Как отсечь остальное?
В третьем так же появляется хвост в виде $(\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2})$ или $(\frac{\pi}{2};\pi)$ и $(\pi;\frac{3\pi}{2})$
В четвёртом получается $2|\vec{a}||\vec{b}|\cos(\varphi)$ из этого следует $\varphi=\pi$ и $|\vec{a}|=\vec{0} \quad or\quad |\vec{b}|=\vec{0}$
В пятом $b(a+b)=0,\vec{b}=\vec{0}\quad or \quad \vec{a}=-\vec{b}$
В 6 куда приткнуть факт деления угла пополам?
В 7 $|\vec{a}+\vec{b}||\vec{a}-\vec{b}|\cos(\pi)=0$ куда двигаться дальше?
В 8 параллельность можно разрулить с помощью векторного произведения, но оно работает только в пространстве. Как быть?

-- 11.04.2016, 20:31 --

Someone
Оценил. Посмеялся. Иногда такие смешные казусы появляются, хотя чаще всего слежу за тем что говорю и как говорю.