Зависимость состояний частиц между наблюдениями есть?

upgrade · 07/08/14 4231

Есть ли опыты по выявлению зависимости состояний частицы от наблюдения к наблюдению?
Например: первым измерением получаем значения импульса и координаты с какой-то точностью, вторым измерением той же частицы получаем новые значения и так далее, эти данные от наблюдения к наблюдению не зависят друг от друга? И можно ли по этому ряду данных получить в итоге точные значения импульса и координаты хотя бы для одного члена ряда?

Geen · 01/09/13 4319

Камера Вильсона?

upgrade · 07/08/14 4231

Верно, как-то забыл.
Тогда не пойму в чем принципиальная невозможность получить точные значения координаты и импульса на определенный момент времени.
Можно узнать координаты столкновения двух частиц путем измерения координат одной из них в момент столкновения, затем узнать импульс второй путем измерения ее импульса. Поскольку последующие значения импульса одной и той же частицы зависят друг от друга - получить значение ее импульса в месте столкновения.

arseniiv · 27/04/09 28128

upgrade в сообщении #1110819 писал(а):

Тогда не пойму в чем принципиальная невозможность получить точные значения координаты и импульса на определенный момент времени.

В том, что вы портите состояние частицы. Чтобы перед следующим измерением состояние частицы было таким же, как перед предыдущим, надо уже до этого уметь готовить частицу в одном и том же состоянии. Тогда да — мы наберём статистику и восстановим волновую функцию с такой точностью, с какой хочется (а не только средние значения координат и импульса — это скучно). А если к нам залетела не контролируемая нами частица, одно измерение — и всё.

upgrade · 07/08/14 4231

arseniiv в сообщении #1110899 писал(а):

upgrade в сообщении #1110819 писал(а):

Тогда не пойму в чем принципиальная невозможность получить точные значения координаты и импульса на определенный момент времени.

В том, что вы портите состояние частицы. Чтобы перед следующим измерением состояние частицы было таким же, как перед предыдущим, надо уже до этого уметь готовить частицу в одном и том же состоянии.

Я порчу, только порча эта устранима за счет того, что значения импульса одной и той же частицы коррелируют друг с другом от измерения к измерению, а координату я не порчу - я ее вообще не меряю у этой частицы, я пытаюсь узнать в каком месте взаимодействие произошло, а не какие координаты были у частицы в момент взаимодействия.
Если в ЭПР-парадоксе измерить точно координату распада частицы на две, предположить, что место распада совпадает с местом рождения, а затем начать измерять импульс одной из частиц, рожденной в процессе распада, то для конкретно этой частицы можно восстановить импульс и координату в момент распада.

-- 01.04.2016, 12:17 --

Например, берем тонкую пластинку и пропускаем через нее протон - нам известны координаты пластины, после того как протон пролетел сквозь пластину делаем серию измерений его импульса (да, они все меняются, но они все зависят друг от друга), по этой серии восстанавливаем импульс протона непосредственно после взаимодействия с пластиной, а затем допускаем, что взаимодействие протона с пластиной происходит в месте нахождения пластины, то есть координаты пластины, взаимодействия и протона совпадают, причем совпадают непосредственно до взаимодействия, после взаимодействия и в момент взаимодействия, и получаем импульс и координату при взаимодействии.

Понятно, что в случае с шариками эти координаты совпадать не могут - место соударения шариков одно, координаты шариков тоже не совпадают, если принять в качестве координат их центры. Но в микромире, насколько я понял, шарики можно считать точечными и все три координаты совпадают.

arseniiv · 27/04/09 28128

upgrade в сообщении #1111034 писал(а):

Я порчу, только порча эта устранима за счет того, что значения импульса одной и той же частицы коррелируют друг с другом от измерения к измерению

Докажите. Измерения бывают очень разные.

upgrade в сообщении #1111034 писал(а):

а координату я не порчу - я ее вообще не меряю у этой частицы, я пытаюсь узнать в каком месте взаимодействие произошло, а не какие координаты были у частицы в момент взаимодействия.

После измерения положения волновая функция частицы сосредоточена возле положения, которые получились в процессе измерения.

upgrade · 07/08/14 4231

arseniiv в сообщении #1111185 писал(а):

Докажите. Измерения бывают очень разные.

В камере Вильсона для одной частицы наблюдаются треки, то есть следующий импульс зависит от предыдущего. Если б не зависел, треков бы не было.

arseniiv в сообщении #1111185 писал(а):

волновая функция сосредоточена возле положения, которые получились в процессе измерения.

Я так понимаю это касается каждого измерения одной и той же частицы. А "возле" оно включает в себя "в момент взаимодействия", и непосредственно до и после него.

Munin · 30/01/06 72407

upgrade в сообщении #1111424 писал(а):

В камере Вильсона для одной частицы наблюдаются треки

На самом деле, это из-за низкой разрешающей способности камеры Вильсона по координате.

upgrade в сообщении #1111424 писал(а):

то есть следующий импульс зависит от предыдущего. Если б не зависел, треков бы не было.

Зависит, но не однозначно. Но на макроскопических масштабах, этого не заметно. Но вы-то начинаете рассуждать о принципиальных вещах.

arseniiv · 27/04/09 28128

upgrade в сообщении #1111424 писал(а):

В камере Вильсона для одной частицы наблюдаются треки, то есть следующий импульс зависит от предыдущего. Если б не зависел, треков бы не было.

Вы попытались доказать $\forall x.\;P(x)$ , приведя $\exists x.\;P(x)$ . Браво. (Плюс то, что сказал выше Munin.)

upgrade в сообщении #1111424 писал(а):

Я так понимаю это касается каждого измерения одной и той же частицы. А "возле" оно включает в себя "в момент взаимодействия", и непосредственно до и после него.

Это касается любого измерения положения любой частицы, и «возле» здесь в обычном для себя пространственном смысле, а о процессе измерения я ничего не говорю, говоря только о моменте, когда его можно считать законченным.

Cos(x-pi/2) · 29/09/14 1151

upgrade
Когда Вы говорите слова "значения импульса коррелируют от измерения к измерению", "нам известны координаты пластины", "координаты пластины, взаимодействия и протона совпадают" и т.п., то обязательно составьте себе ещё и количественное представление об упомянутых корреляциях, о размерах пластины в сравнении с размером протона, и в итоге - о количественных неопределённостях измеряемых величин.

Почему важна количественная сторона? Потому что КМ вовсе не утверждает, будто нельзя

upgrade в сообщении #1110819 писал(а):

получить точные значения координаты и импульса на определенный момент времени.

В КМ вот что происходит:

(подробности)

КМ утверждает (и опыт подтверждает), что измеряемые координаты частицы $x,y,z$ и проекции её вектора импульса $p_x, p_y,p_z$ от измерения к измерению флуктуируют, т.е ведут себя подобно случайным величинам; КМ даёт количественную оценку для флуктуаций (знаменитые соотношения неопределённостей Гейзенберга):

$\Delta x \Delta p_x \ge \hbar /2$ ,
$\Delta y \Delta p_y \ge \hbar /2$ ,
$\Delta z \Delta p_z \ge \hbar /2$ .

Так вот: важно, что проявление этих флуктуаций разное в разных ситуациях -- всё зависит от того, малы они или велики по сравнению с характерными масштабами в конкретном физическом опыте. Разберём примеры.

1) Если частица летит с достаточно большой кинетической энергией (т.е. с большой величиной импульса, - пусть он во много раз превышает флуктуации проекций импульса), то флуктуации импульса от измерения к измерению мало изменяют вектор импульса. В этом случае да, "значения импульса коррелируют от измерения к измерению". В камере Вильсона это проявится так: заряженная частица с большим импульсом оставит за собой почти прямолинейный трек. И при этом же условии трек оказывается довольно длинным (ведь большой импульс означает большую скорость, если масса $m$ частицы не слишком велика).

Толщина трека всегда большая, макроскопическая - она более чем в тысячи раз превышает размер атомов $a_B=\hbar^2/(me^2) \sim 10^{-8} \, \text{см}$ : ведь трек ясно виден человечьим глазом и, значит, его толщина не меньше длины волны видимого света. Трек состоит из отдельных капелек "тумана", каждая из которых содержит много молекул воды.

Квантовые флуктуации координат и импульса частицы дают свой вклад в случайный характер расположения капелек, составляющих трек; центры капелек не лежат строго на одной прямой и не лежат на строго равных расстояниях друг от друга. Но такими флуктуациями можно пренебречь по сравнению с погрешностью определения координат частицы, вносимой макроскопическими размерами капелек. Большая длина трека по сравнению с его толщиной и, как следствие, его "похожесть на прямую линию" вполне позволяет нам в данном примере мысленно заменить наблюдаемый трек интуитивно понятной классической картиной движения материальной точки по классической траектории.

Аналогичная ситуация имеет место, например, и при рассмотрении электронного луча в радиолампе, в рентгеновской трубке, в осциллографе, в кинескопе старого телевизора, или в мониторе с электронно-лучевой трубкой (такие мониторы, правда, уже вышли из употребления): ширина пучка электронов (обусловленная устройством катода и фокусирующей системы) и длина пучка здесь намного больше масштаба квантовых флуктуаций координат отдельного электрона $\Delta x, \Delta y, \Delta z.$ И импульс $\vec{p},$ приходящийся в среднем на один электрон в пучке, намного превышает квантовые флуктуации $\Delta p_x, \Delta p_y, \Delta p_z.$ Поэтому и в данном примере годится (приближённо!) классическое описание электронного луча: будто каждый электрон в луче летит по своей чёткой траектории, как классическая материальная точка.

Для ясности приведу ещё утрированный пример такого же рода. Известно (ниже это обсуждается подробнее), что электрон внутри атома из-за квантовых флуктуаций не имеет определённой траектории, и что из атомов с такими квантовыми электронами состоит любое вещество, в том числе и те вещества, из которых сделан, например, спутник. А на фоне ночного неба мы видим спутник как малюсенькую светящуюся "точку", движущуюся по вполне классической плавной траектории $\vec{r}(t)$ с плавно зависящим от времени вектором скорости $\vec{v}(t).$ И, раз каждый электрон внутри спутника заключён в этой "точке", то, получается, он тоже движется по траектории спутника $\vec{r}(t)$ со скоростью спутника $\vec{v}(t) \text{?}$ Ответ: да, если координаты электрона определять с погрешностью порядка размеров спутника; здесь погрешность во много раз превышает квантовую неопределённость координат электрона, имеющую порядок размера атома.

Вернёмся к трекам частиц в камере Вильсона.

2) Ситуация иная, если энергия частицы не столь велика, как в первом примере, и её потери в актах взаимодействия с молекулами пара в камере Вильсона существенны. Тогда трек от акта к акту взаимодействия заметно толстеет, и он может быть коротким. Если речь об электроне, то электрон, потеряв энергию, присоединяется к какой-нибудь молекуле, так что его трек скоро оканчивается где-то в очередной капельке "тумана". Вот для примера фото из работы Вильсона 1923 года; подобных фото имеется великое множество; здесь виден трек электрона, выбитого из атома рентгеновским фотоном в эффекте Комптона (такой электрон менее энергичен, чем выбитый в фотоэффекте - при полном поглощении фотона):

Ясно, что внутри такого широкого трека траекторию электрона с достоверностью определить невозможно. Чем меньше усреднённый вектор импульса электрона по сравнению с флуктуациями проекций импульса, тем бесформеннее становится "трек"; вплоть до того, что он превратится в одно "облачко" или будет состоять всего из двух-трёх капелек в случайных местах.

3) Наконец, рассмотрим ситуацию, в которой вектор импульса электрона постоянно равен нулю. В классической механике это условие означает покоящуюся материальную точку; выбрав её координаты за начало системы координат, имеем: $\vec{r}(t)=0,$ $\vec{p}(t)=0.$ Никаких флуктуаций в этой классической картине нет.

Но в квантовой механике такая картина означала бы нарушение неравенств Гейзенберга; КМ не допускает обращения в нуль флуктуаций координат вместе с флуктуациями импульса!

Что же получается в КМ (и на практике)? Рассмотрим, например, электрон в атоме водорода. По классической механике электрон должен был бы прилипнуть к почти точечному (в сравнении с $a_B)$ ядру и покоиться с нулевым импульсом. КМ же говорит, что координаты электрона должны флуктуировать; пусть $a$ - пока неизвестный масштаб (по порядку величины) флуктуаций $\Delta x, \Delta y, \Delta z.$ Тогда из неравенств Гейзенберга следует, что флуктуации каждой из трёх проекций импульса должны быть по порядку величины не меньше $\hbar / a,$ так что оценкой для порядка величины наименьшего усреднённого квадрата импульса является:

$\langle p^2 \rangle \sim \dfrac {\hbar^2}{a^2}$

Следовательно, из-за флуктуаций импульса у электрона не равна нулю кинетическая энергия, и оценкой для неё в состоянии с наименьшей энергией служит формула:

$\langle E_{\text{кин}}\rangle = \dfrac{\langle p^2 \rangle}{2m} \sim \dfrac{\hbar^2}{2ma^2}$

При этом для потенциальной энергии кулоновского притяжения электрона к ядру, (т.е. к протону) $U(r)=-e^2/r,$ где $e$ - заряд электрона, можно принять оценку, получающуюся подстановкой сюда величины $a$ в роли усреднённого расстояния $r$ (по порядку величины) между ядром и электроном, который каким-то квантовым образом "блуждает" вблизи ядра:

$\langle U \rangle \sim -\dfrac{e^2}{a}$

Полная энергия электрона, т.е. сумма кинетической и потенциальной энергии, таким образом, по порядку величины составляет:

$E(a)=\langle E_{\text{кин}}\rangle +\langle U \rangle \sim \dfrac{\hbar^2}{2ma^2} - \dfrac{e^2}{a}$

Здесь два слагаемых, положительное и отрицательное; "кто кого переборет?" Вы можете построить график этой функции $E(a)$ и убедиться, что результат борьбы - наличие минимума у энергии электрона $E(a)$ ; и если умеете брать производные, то легко убедитесь, что условие минимума, т.е. уравнение $\frac{dE}{da}=0$ дает нам вот такую формулу для того масштаба флуктуаций координат $a,$ при котором энергия электрона в атоме минимальна:

$a=\dfrac{\hbar^2}{m e^2}=a_B$

Получилась как раз известная из опытов оценка размера атома (т.н. "боровский радиус"). Подставив $a=a_B$ в $E(a),$ получаем оценку и для энергии электрона в атоме водорода в состоянии с наименьшей энергией:

$E_{min} = -\dfrac {me^4}{2 \hbar^2} \sim -13,6 \, \text{эВ}$

Эта величина тоже согласуется с опытом. В эксперименте измеряется энергия ионизации атома - энергия, которую надо затратить, чтобы перевести электрон из атома на какое-нибудь очень большое расстояние от атома (так что, $a \to \infty$ и полная энергия электрона $E \to 0);$ в приведённом выше расчете энергия ионизации это $|E_{min}|.$

Мораль: внутри атомов квантовые флуктуации координат и импульса электронов играют основную роль; пренебрегать ими и пытаться понять картину движения электронов в атомах на языке одной только классической физики нельзя.

А какова же квантовая картина движения электрона на малых расстояниях? Как выглядит "трек" электрона внутри атома? К сожалению, природа исключила возможность наполнить внутренность атома водяным паром, как камеру Вильсона. "Трек" электрона внутри атома никогда не наблюдается. Можно лишь ставить различные опыты по рассеянию частиц (фотонов или других электронов) на электронах и ядрах, "живущих" внутри атомов. Теория и опыты показывают, что в состоянии с $E_{min}$ флуктуации координат и импульса электрона изотропны - электрон как бы "размазан" по пространству вокруг ядра одинаково во всех направлениях.

Старинное предположение Бора об "орбитах" электрона в атоме не подтвердилось; ему на смену пришла КМ с понятием волновой функции электрона $\psi (\vec{r},t)$ - она вычисляется из уравнения Шрёдингера и позволяет вычислить средние значения разных физических величин и их флуктуации. Волновая функция показывает, что в тех ситуациях, где квантовые флуктуации играют основную роль, нельзя даже приближённо ввести представление об определённой "траектории" частицы - нет характерных для классической механики корреляций между значениями координат и импульсов в разные моменты времени.

Фейнман сумел выявить картину, поясняющую, как на квантовых масштабах теряется смысл понятия "определённая траектория"; он обнаружил, что волновая функция может быть выражена интегралом по траекториям. На этом языке, грубо говоря, частица "движется как бы сразу по всем возможным траекториям". Причём, основной вклад дают траектории, состоящие из флуктуаций разного масштаба, включая мельчайшие, так что указать определённую траекторию частицы между двумя последовательными измерениями принципиально невозможно.

Вот соответствующий рисунок из книги Фейнмана "Квантовая механика и интегралы по траекториям":

Завершаю стандартной, но всегда актуальной фразой; как говаривал один товарищ: "любите книгу - источник знаний".

upgrade · 07/08/14 4231

Вот часть трека протона с некоторым импульсом после пролета пластины:

$\begin{tikzpicture} \draw[-] (1,0.5)--(1,3); \draw[-] (0.9,0.5)--(0.9,3); \draw[dashed] (1,2)--(2,3); \draw[dashed] (2,3)--(3,1); \draw[dashed] (3,1)--(3.25,1.5); \end{tikzpicture}$

таким бы трек был, если импульс больше предыдущего:

$\begin{tikzpicture} \draw[-] (1,0.5)--(1,3); \draw[-] (0.9,0.5)--(0.9,3); \draw[dashed] (1,2)--(2.5,3); \draw[dashed] (2.5,3)--(3.75,1); \draw[dashed] (3.75,1)--(4.25,1.5); \end{tikzpicture}$

а таким, если протон летит в поле (средняя трека уходит "вниз"):

$\begin{tikzpicture} \draw[-] (1,0.5)--(1,3); \draw[-] (0.9,0.5)--(0.9,3); \draw[dashed] (1,1.5)--(2,2.25); \draw[dashed] (2,2.25)--(3,0); \draw[dashed] (3,0)--(3.25,0.25); \end{tikzpicture}$

закономерное изменение (неслучайная составляющая трека) присутствует при любом уменьшении масштаба наблюдений, ведь статистика протона, летящего под воздействием поля явно отличается от статистики протона, летящего без такого воздействия.
Или есть опыты, которые показывают, что один и тот же протон может передать какой-то частице импульс больший, чем он сам получил или может передать суммарно нескольким частицам импульс больше, чем им был получен? Вряд ли, ведь закон сохранения импульса. Значит, получив подлиннее ряд значений импульса протона можно узнать поточнее его импульс непосредственно после пластины. (Точнее, чем если бы это делали одним измерением). А точность координат пластины при этом не меняется.

(Оффтоп)

Я приведу пример с платежами:
время поступления денег на расчетный счет - случайная величина при любом масштабе наблюдений за расчетным счетом. Можем поминутно наблюдать, тогда время будет с точностью до минут и в минутный интервал будут попадать сотни тысяч рублей, можем посекундно и тогда точность - секундная и увидим десятки и единицы тысяч рублей. Общая картина примерно как с треками - уменьшение масштаба влияет лишь на количественные характеристики (вместо сотен тысяч видим десятки тысяч), а не на качественные - это все та же случайная ломаная траектория.
Но при любом масштабе присутствует неслучайная составляющая (ночью никто не платит, если рекламу дать платежи растут, если не дать - падают).
Эта неслучайная составляющая выявляется, в том числе, следующим способом: начинаем наблюдать не за расчетным счетом, а за отдельными клиентами и собираем информацию о их платежах не только на наш расчетный счет, а вообще любых, или иначе - получаем данные о "траектории платежей клиента", а не "траектории поступлений на наш расчетный счет". Собрав данные таким образом точность прогноза (когда он внесет деньги уже на наш "детектор" (р/с)) существенно растет, поскольку статистика собрана иначе.

Munin · 30/01/06 72407