2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Сколько цифр взять, чтобы было несвободное от квадратов?
Сообщение26.03.2016, 01:14 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Найти минимальное целое число $k$, обладающее следующим свойством: в любом множестве из $k$ различных десятичных цифр существуют два элемента, что составленное ими двузначное число делится на квадрат целого числа, большего 1.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сколько цифр взять, чтобы было несвободное от квадратов?
Сообщение26.03.2016, 01:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14429
Напрямую с ума сойдёшь. От противного надо приводить примеры множеств, из которых нельзя получить таких чисел.
Например: $k=2: (1,3); k=3: (0,1,3); k=4: (0,1,3,7)$ :?:
Для $k=5$... Нельзя, честное слово! Легко, но некрасиво. После небольшого подсчёта возможностей соседства, шесть претендентов покидают спсок.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сколько цифр взять, чтобы было несвободное от квадратов?
Сообщение26.03.2016, 01:43 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
gris в сообщении #1109202 писал(а):
Напрямую с ума сойдёшь.

У меня есть очень лёгкое и красивое решение. Я немного подожду, вруг кто-нибудь додумается?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сколько цифр взять, чтобы было несвободное от квадратов?
Сообщение26.03.2016, 20:52 


18/04/15
38
Действительно, $ k=5 $. Возьмём три множества: $ A=\{0, 4, 8, 9\}, B=\{2, 5, 7\}, C=\{3, 6\} $. Легко убедиться, что для каждой пары элементов, принадлежащих одному из множеств, хотя бы одно из образуемых ими чисел не является свободным от квадратов. Остается подметить, что среди любых 5 разных цифр хотя бы две одновременно будут принадлежать $ A, B $ или $ C $.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сколько цифр взять, чтобы было несвободное от квадратов?
Сообщение27.03.2016, 10:15 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
lopkityu
Спасибо!

А теперь выложу своё:

Мне кажется, что ответ будет 5.

Действительно, разобьём все десятичные цифры на 4 группы: (0, 4, 9), (1, 2, 8), (5, 6, 7), (3).
Если в нашем множестве 5 цифр, то из какой-то вышеуказанной группы взяты как минимум две цифры, а они образуют число, несвободное от квадратов.

С другой стороны, четырёх цифр явно не достаточно, ведь множество из цифр 1, 3, 4 и 7 нарушает условие задачи.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group