2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Два треугольника и эллипс
Сообщение21.03.2016, 16:55 


11/11/12
172
Недавно обнаружил одну интересную геометрическую конфигурацию в GeoGebra.
Треугольники пересекаются в шести точках $X_1,...,X_6$, образуя подобие звезды Давида. Оказалось, что прямые, проходящие через противоположные вершины треугольников, пересекаются в одной точке. Гипотеза: точки $X_1,...,X_6$ лежат на одном эллипсе.Изображение
Пытался найти похожее в Интернете --- ничего такого не обнаружил, хотя полагаю, что эта какая-то известная теорема. Несколько дней думал над доказательством, но не вышло. Подскажите, что это за теорема.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два треугольника и эллипс
Сообщение21.03.2016, 17:17 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Для произвольных треугольников гипотеза неверна.

-- Пн мар 21, 2016 19:20:34 --

А, стоп. «Оказалось, что прямые пересекаются» — это дополнительное условие? Тогда ясно.

-- Пн мар 21, 2016 19:23:49 --

Если любую такую конфигурацию треугольников можно получить аффинным/проективным преобразованием двух равносторонных треугольников, образующих действительно звезду Давида, то понятно, откуда возьмётся эллипс.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два треугольника и эллипс
Сообщение21.03.2016, 17:37 


11/11/12
172
arseniiv в сообщении #1108279 писал(а):
Если любую такую конфигурацию треугольников можно получить аффинным/проективным преобразованием двух равносторонных треугольников, образующих действительно звезду Давида, то понятно, откуда возьмётся эллипс.



Разве любую такую комбинацию можно получить проективным преобразованием? Не очевидно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два треугольника и эллипс
Сообщение21.03.2016, 18:03 
Заслуженный участник


10/01/16
2318
А разве это не теорема Паскаля?

-- 21.03.2016, 19:07 --

То бишь, обратная к ей...

 Профиль  
                  
 
 Re: Два треугольника и эллипс
Сообщение21.03.2016, 18:24 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
function
Мне уже тоже кажется, что не любую. Первый треугольник можно задать шестью параметрами, и две вершины другого четырьмя, но последняя обязана гулять по фиксированной теперь прямой и задаётся одним параметром. Всего 11 параметров, а у проективного преобразования плоскости всего 8, так что какую-то одну фиксированную конфигурацию оно превратить в любую не сможет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два треугольника и эллипс
Сообщение21.03.2016, 18:34 
Аватара пользователя


11/08/11
1135
Однозначно единого преобразования нет. Одну из вершин треугольника можно произвольно двигать по лучу, это уже ставит крест.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два треугольника и эллипс
Сообщение21.03.2016, 18:49 
Заслуженный участник


10/01/16
2318
Ну, вместе с теоремой Дезарга.
Точнее, с обратной к ней... :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Два треугольника и эллипс
Сообщение21.03.2016, 19:13 


11/11/12
172
Действительно, пары противоположных сторон шестиугольника пересекаются в инцидентных точках по обратной теореме Дезарга, что следует из конкурентности прямых по условию. А значит, по обратной теореме Паскаля, всё хорошо. Спасибо, DeBill!

 Профиль  
                  
 
 Re: Два треугольника и эллипс
Сообщение21.03.2016, 19:29 
Заслуженный участник


10/01/16
2318
Докажем прямо: если лежат на эллипсе, то - пересекаются. Эллипс - значит, окружность.
По Паскалю: точки пересечения противоположных сторон шестиугольника лежат на прямой (на катринке: они все - на бесконечности). Значит, два наши тр-ка - перспективны ( с центром перспективы на прямой - вроде, так говорят?) По теореме Дезарга $^{{}-1}$, у них есть и центр перспективы (т.е, наши три прямые пересекаются в одной точке)
Доказали.
Назад: пусть пересекаются в одной точке. Возьмем 5 точек из наших 6, и найдем кривую второго порядка, проходящую через них (5 уравнений, $6-1=5$ коэф-тов, вроде, хватает).Кривая второго порядка - значит, эллипс :D . Точкой $X_6'$ назовем точку пересечения с эллипсом прямой $X_1X_6$. По этим 6 точкам построим новую звезду Давида. Сравнивая ее со старой, видим: некуда деваться точке $X_6$, кроме как совпадать с $X_6'$...

А, уже сделано...Ну да ладно, не пропадать же написанному

-- 21.03.2016, 20:30 --

О - конкурентны!

 Профиль  
                  
 
 Re: Два треугольника и эллипс
Сообщение21.03.2016, 20:24 


11/11/12
172
Теорема Паскаля + Теорема Дезарга = мощное средство для решения и придумывания различных красивых конструкций. Сейчас придумал ещё вот такую задачку:
Вершины шестиугольника, у которого главные диагонали конкурентны, лежат на одной конике. Докажите, что точки пересечения противоположных сторон шестиугольника тоже лежат на одной конике.
Здесь нужно 1 раз применить обратную теорему Дезарга и 2 раза --- теорему Паскаля (одну --- прямую, другую --- обратную). Разумеется, верно и обратное утверждение.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group